微积分学示例

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} - 1}{3 \ln (- 5 - 2 x)}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 3} e^{x + 3} - 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 3} e^{x + 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

解题步骤 1.2.1.2

将极限移入指数中。

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

解题步骤 1.2.1.3

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

解题步骤 1.2.1.4

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

解题步骤 1.2.1.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

解题步骤 1.2.2

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{- 3 + 3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.3.1.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

解题步骤 1.2.3.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

解题步骤 1.2.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

解题步骤 1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 3} \ln (- 5 - 2 x)}$

解题步骤 1.3.1.2

将极限移入对数中。

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to - 3} - 5 - 2 x)}$

解题步骤 1.3.1.3

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{3 \ln (- lim_{x \to - 3} 5 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

解题步骤 1.3.1.4

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{3 \ln (- 1 \cdot 5 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

解题步骤 1.3.1.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 \ln (- 5 - 2 lim_{x \to - 3} x)}$

解题步骤 1.3.2

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 \ln (- 5 - 2 \cdot - 3)}$

解题步骤 1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{0}{3 \ln (- 5 + 6)}$

解题步骤 1.3.3.2

将 $- 5$ 和 $6$ 相加。

$\frac{0}{3 \ln (1)}$

解题步骤 1.3.3.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{3 \cdot 0}$

解题步骤 1.3.3.4

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.3.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} - 1}{3 \ln (- 5 - 2 x)} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 3} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 3} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $e^{x + 3} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x + 3}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 3$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

解题步骤 3.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

解题步骤 3.3.1.3

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

解题步骤 3.3.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

解题步骤 3.3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

解题步骤 3.3.6

将 $e^{x + 3}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} + 0}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

解题步骤 3.5

将 $e^{x + 3}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

解题步骤 3.6

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \ln (- 5 - 2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\ln (- 5 - 2 x)]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 \frac{d}{d x} [\ln (- 5 - 2 x)]}$

解题步骤 3.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = - 5 - 2 x$ 。

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解题步骤 3.7.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 5 - 2 x$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x])}$

解题步骤 3.7.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x])}$

解题步骤 3.7.3

使用 $- 5 - 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 (\frac{1}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x])}$

解题步骤 3.8

组合 $\frac{1}{- 5 - 2 x}$ 和 $3$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x]}$

解题步骤 3.9

根据加法法则， $- 5 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} (\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

解题步骤 3.10

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

解题步骤 3.11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 相加。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

解题步骤 3.12

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.13

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{- 5 - 2 x}$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{- 2 \cdot 3}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.14

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{- 6}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.15

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 5 - 2 x} \cdot 1}$

解题步骤 3.17

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 5 - 2 x}}$

解题步骤 3.18

化简。

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解题步骤 3.18.1

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 1 (5) - 2 x}}$

解题步骤 3.18.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 1 (5) - (2 x)}}$

解题步骤 3.18.3

从 $- 1 (5) - (2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 1 (5 + 2 x)}}$

解题步骤 3.18.4

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- - \frac{6}{5 + 2 x}}$

解题步骤 3.18.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{1 \frac{6}{5 + 2 x}}$

解题步骤 3.18.6

将 $\frac{6}{5 + 2 x}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{6}{5 + 2 x}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to - 3} e^{x + 3} \frac{5 + 2 x}{6}$

解题步骤 5

组合 $e^{x + 3}$ 和 $\frac{5 + 2 x}{6}$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (5 + 2 x)}{6}$

解题步骤 6

因为项 $\frac{1}{6}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{6} lim_{x \to - 3} e^{x + 3} (5 + 2 x)$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{6} lim_{x \to - 3} e^{x + 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

解题步骤 8

将极限移入指数中。

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

解题步骤 10

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

解题步骤 11

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot (lim_{x \to - 3} 5 + lim_{x \to - 3} 2 x)$

解题步骤 12

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot (5 + lim_{x \to - 3} 2 x)$

解题步骤 13

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot (5 + 2 lim_{x \to - 3} x)$

解题步骤 14

将 $- 3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 14.1

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{6} e^{- 3 + 3} \cdot (5 + 2 lim_{x \to - 3} x)$

解题步骤 14.2

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{6} e^{- 3 + 3} \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

解题步骤 15

化简答案。

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解题步骤 15.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{6} e^{0} \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

解题步骤 15.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

解题步骤 15.3

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{6} \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

解题步骤 15.4

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{1}{6} \cdot (5 - 6)$

解题步骤 15.5

从 $5$ 中减去 $6$ 。

$\frac{1}{6} \cdot - 1$

解题步骤 15.6

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{- 1}{6}$

解题步骤 15.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{6}$

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