微积分学示例

$f (x) = e^{x y}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (f (x)) = \frac{d}{d x} (e^{x y})$

解题步骤 2

使用函数法则进行微分，即 $f (x)$ 的导数为 $\frac{d f}{d x}$ 。

$\frac{d f}{d x}$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x y$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1)$

解题步骤 3.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$e^{x y} (x y' + y)$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

运用分配律。

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y$

解题步骤 3.6.2

重新排序项。

$e^{x y} x y' + e^{x y} y$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{d f}{d x} = e^{x y} x y' + e^{x y} y$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $e^{x y} x y' + e^{x y} y = \frac{d f}{d x}$ 。

$e^{x y} x y' + e^{x y} y = \frac{d f}{d x}$

解题步骤 5.2

将 $e^{x y} x y' + e^{x y} y$ 中的因式重新排序。

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

解题步骤 5.3

约去 $d$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{f}{x}$

解题步骤 5.4

从等式两边同时减去 $y e^{x y}$ 。

$x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$

解题步骤 5.5

将 $x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$ 中的每一项除以 $x e^{x y}$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$ 中的每一项都除以 $x e^{x y}$ 。

$\frac{x y' e^{x y}}{x e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y' e^{x y}}{x e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

解题步骤 5.5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

解题步骤 5.5.2.2

约去 $e^{x y}$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

解题步骤 5.5.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$y' = \frac{f}{x} \cdot \frac{1}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

解题步骤 5.5.3.1.2

合并。

$y' = \frac{f \cdot 1}{x (x e^{x y})} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

解题步骤 5.5.3.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.5.3.1.3.1

移动 $x$ 。

$y' = \frac{f \cdot 1}{x \cdot x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

解题步骤 5.5.3.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y' = \frac{f \cdot 1}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

解题步骤 5.5.3.1.4

将 $f$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

解题步骤 5.5.3.1.5

约去 $e^{x y}$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.5.1

约去公因数。

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

解题步骤 5.5.3.1.5.2

重写表达式。

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.5.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} - \frac{y}{x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} - \frac{y}{x}$

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