微积分学示例

$1 + \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $1 + \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$0 + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.3.3

使用 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x + 1$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]))$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

解题步骤 2.4.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])))$

解题步骤 2.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

解题步骤 2.8

将 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

解题步骤 2.8.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

解题步骤 2.8.2.2

约去公因数。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

解题步骤 2.8.2.3

重写表达式。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

解题步骤 2.9

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)))$

解题步骤 2.10

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

解题步骤 2.11

在公分母上合并分子。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

解题步骤 2.12

化简分子。

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解题步骤 2.12.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)))$

解题步骤 2.12.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)))$

解题步骤 2.13

将负号移到分数的前面。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)))$

解题步骤 2.14

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1))$

解题步骤 2.15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1))$

解题步骤 2.16

将 $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.18

组合 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 ${(x + 1)}^{- 1}$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{{(x + 1)}^{- 1}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.19

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 1)}^{- 1}$ 移动到分母。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)})$

解题步骤 2.20

通过指数相加将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.20.1

移动 $x + 1$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ((x + 1) {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

解题步骤 2.20.2

将 $x + 1$ 乘以 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.20.2.1

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

解题步骤 2.20.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.20.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.20.4

在公分母上合并分子。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}})$

解题步骤 2.20.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 2.21

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$0 - \frac{1}{2 (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 2.22

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$0 - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

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