微积分学示例

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \ln (3 x + 4)}{3 \tan (2 x + 2)}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 1} 3 \ln (3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1.1

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to - 1} \ln (3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

解题步骤 1.2.1.2

将极限移入对数中。

$\frac{3 \ln (lim_{x \to - 1} 3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

解题步骤 1.2.1.3

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 \ln (lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

解题步骤 1.2.1.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

解题步骤 1.2.1.5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to - 1} x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

解题步骤 1.2.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \ln (3 \cdot - 1 + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 \ln (- 3 + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

解题步骤 1.2.3.2

将 $- 3$ 和 $4$ 相加。

$\frac{3 \ln (1)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

解题步骤 1.2.3.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

解题步骤 1.2.3.4

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 1} \tan (2 x + 2)}$

解题步骤 1.3.1.2

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{0}{3 \tan (lim_{x \to - 1} 2 x + 2)}$

解题步骤 1.3.1.3

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{3 \tan (lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 2)}$

解题步骤 1.3.1.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 2)}$

解题步骤 1.3.1.5

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

解题步骤 1.3.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 \tan (2 \cdot - 1 + 2)}$

解题步骤 1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{0}{3 \tan (- 2 + 2)}$

解题步骤 1.3.3.2

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{0}{3 \tan (0)}$

解题步骤 1.3.3.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{3 \cdot 0}$

解题步骤 1.3.3.4

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.3.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \ln (3 x + 4)}{3 \tan (2 x + 2)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \ln (3 x + 4)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 4)]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x + 4$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x + 4$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

解题步骤 3.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

解题步骤 3.3.3

使用 $3 x + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{1}{3 x + 4} \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{1}{3 x + 4}$ 和 $3$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $3 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

解题步骤 3.6

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

解题步骤 3.8

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

解题步骤 3.9

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

解题步骤 3.10

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

解题步骤 3.11

组合 $\frac{3}{3 x + 4}$ 和 $3$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3 \cdot 3}{3 x + 4}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

解题步骤 3.12

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

解题步骤 3.13

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \tan (2 x + 2)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 2)]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 2)]}$

解题步骤 3.14

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 2 x + 2$ 。

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解题步骤 3.14.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x + 2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

解题步骤 3.14.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

解题步骤 3.14.3

使用 $2 x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\sec^{2} (2 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

解题步骤 3.15

去掉圆括号。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 2]}$

解题步骤 3.16

根据加法法则， $2 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2])}$

解题步骤 3.17

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}$

解题步骤 3.18

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}$

解题步骤 3.19

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [2])}$

解题步骤 3.20

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 + 0)}$

解题步骤 3.21

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) \cdot 2}$

解题步骤 3.22

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to - 1} \frac{9}{3 x + 4} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{9}{3 x + 4}$ 乘以 $\frac{1}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{9}{(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))}$

解题步骤 5.2

约去 $9$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (3)}{(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))}$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (3)}{3 ((3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2)))}$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \cdot 3}{3 ((3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2)))}$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to - 1} \frac{3}{(3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2))}$

解题步骤 6

因为项 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3}{2} lim_{x \to - 1} \frac{1}{(3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} (3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

解题步骤 8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} (3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x + 4 \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

解题步骤 10

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

解题步骤 11

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

解题步骤 12

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

解题步骤 13

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (2 x + 2)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot {(lim_{x \to - 1} \sec (2 x + 2))}^{2}}$

解题步骤 14

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to - 1} 2 x + 2)}$

解题步骤 15

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 2)}$

解题步骤 16

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 2)}$

解题步骤 17

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

解题步骤 18

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 18.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

解题步骤 18.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

解题步骤 19

化简答案。

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解题步骤 19.1

合并。

$\frac{3 \cdot 1}{2 ((3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2))}$

解题步骤 19.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{2 (3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

解题步骤 19.3

化简分母。

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解题步骤 19.3.1

合并指数。

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解题步骤 19.3.1.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3}{2 (- 3 + 4) \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

解题步骤 19.3.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3}{2 (- 3 + 4) \sec^{2} (- 2 + 2)}$

解题步骤 19.3.2

将 $- 3$ 和 $4$ 相加。

$\frac{3}{2 \cdot 1 \sec^{2} (- 2 + 2)}$

解题步骤 19.3.3

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3}{2 \cdot 1 \sec^{2} (0)}$

解题步骤 19.3.4

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{3}{2 \cdot 1 \cdot 1^{2}}$

解题步骤 19.3.5

一的任意次幂都为一。

$\frac{3}{2 \cdot 1 \cdot 1}$

解题步骤 19.3.6

合并指数。

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解题步骤 19.3.6.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{2 \cdot 1}$

解题步骤 19.3.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{2}$

微积分学 示例

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