微积分学示例

$f (x) = \tan (x) (4 \cos (x) + 8 \sec (x))$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \tan (x) (4 \cos (x) + 8 \sec (x)) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int \tan (x) (4 \cos (x)) + \tan (x) (8 \sec (x)) d x$

解题步骤 3.2

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 3.2.1

将 $\tan (x)$ 和 $4 \cos (x)$ 重新排序。

$\int 4 \cos (x) \tan (x) + \tan (x) (8 \sec (x)) d x$

解题步骤 3.2.2

添加圆括号。

$\int 4 (\cos (x) \tan (x)) + \tan (x) (8 \sec (x)) d x$

解题步骤 3.2.3

将 $\cos (x)$ 和 $\tan (x)$ 重新排序。

$\int 4 (\tan (x) \cos (x)) + \tan (x) (8 \sec (x)) d x$

解题步骤 3.2.4

将 $\tan (x) (4 \cos (x))$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int 4 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) + \tan (x) (8 \sec (x)) d x$

解题步骤 3.2.5

约去公因数。

$\int 4 \sin (x) + \tan (x) (8 \sec (x)) d x$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\int 4 \sin (x) + 8 \tan (x) \sec (x) d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 \sin (x) d x + \int 8 \tan (x) \sec (x) d x$

解题步骤 5

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int \sin (x) d x + \int 8 \tan (x) \sec (x) d x$

解题步骤 6

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$4 (- \cos (x) + C) + \int 8 \tan (x) \sec (x) d x$

解题步骤 7

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$4 (- \cos (x) + C) + 8 \int \tan (x) \sec (x) d x$

解题步骤 8

因为 $\sec (x)$ 的导数为 $\tan (x) \sec (x)$ ，所以 $\tan (x) \sec (x)$ 的积分为 $\sec (x)$ 。

$4 (- \cos (x) + C) + 8 (\sec (x) + C)$

解题步骤 9

化简。

$- 4 \cos (x) + 8 \sec (x) + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = \tan (x) (4 \cos (x) + 8 \sec (x))$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- 4 \cos (x) + 8 \sec (x) + C$

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