微积分学示例

$x^{3} + \frac{x^{2}}{2}$

解题步骤 1

将 $x^{3} + \frac{x^{2}}{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{3} + \frac{x^{2}}{2}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{3} + \frac{x^{2}}{2} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{3} d x + \int \frac{x^{2}}{2} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int \frac{x^{2}}{2} d x$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{2} \int x^{2} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2 \cdot 3} x^{3} + C$

解题步骤 8.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{6} x^{3} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = x^{3} + \frac{x^{2}}{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{6} x^{3} + C$

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