微积分学示例

Let $f (x) = \frac{x + 1}{x - 3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $x - 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{x - 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x - 3 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x - 3 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x - 3 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 3 - (x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.2.1

合并 $x - 3 - x - 1 \cdot 1$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.3.2.1.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{0 - 3 - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$\frac{- 3 - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 3 - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.3

从 $- 3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 4}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$ 。

$- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$4 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $4 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 3)}^{2} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 3.2.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{x + 1}{x - 3}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 3$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $3$ 替换 $x$ 。

$\frac{(3) + 1}{(3) - 3}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{(3) + 1}{0}$

解题步骤 4.1.2.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 5

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

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