微积分学示例

$y = - \frac{1}{24} x^{- 4} - \frac{3}{20} x - x^{3} + \frac{5}{18}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- \frac{1}{24} x^{- 4} - \frac{3}{20} x - x^{3} + \frac{5}{18}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- \frac{1}{24}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{24} x^{- 4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ 。

$- \frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 4$ 。

$- \frac{1}{24} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (\frac{1}{24}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

解题步骤 1.2.4

组合 $4$ 和 $\frac{1}{24}$ 。

$\frac{4}{24} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

解题步骤 1.2.5

组合 $\frac{4}{24}$ 和 $x^{- 5}$ 。

$\frac{4 x^{- 5}}{24} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

解题步骤 1.2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 5}$ 移动到分母。

$\frac{4}{24 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

解题步骤 1.2.7

约去 $4$ 和 $24$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (1)}{24 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

解题步骤 1.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.7.2.1

从 $24 x^{5}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (1)}{4 (6 x^{5})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

解题步骤 1.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 1}{4 (6 x^{5})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

解题步骤 1.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{6 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- \frac{3}{20}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{20} x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

解题步骤 1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

解题步骤 1.4.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

解题步骤 1.5

因为 $\frac{5}{18}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{18}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2} + 0$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

将 $\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2}$

解题步骤 1.6.2

重新排序项。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 3 x^{2} + \frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$- 6 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $\frac{1}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{6 x^{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ 。

$- 6 x + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{x^{5}}$ 重写为 ${(x^{5})}^{- 1}$ 。

$- 6 x + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{5}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{5}$ 。

$- 6 x + \frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

解题步骤 2.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 6 x + \frac{1}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $x^{5}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 6 x + \frac{1}{6} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- 6 x + \frac{1}{6} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

解题步骤 2.3.5

将 ${(x^{5})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 6 x + \frac{1}{6} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

解题步骤 2.3.5.2

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$- 6 x + \frac{1}{6} (- x^{- 10} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

解题步骤 2.3.6

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{- 10} x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

解题步骤 2.3.7

通过指数相加将 $x^{- 10}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.3.7.1

移动 $x^{4}$ 。

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 (x^{4} x^{- 10})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

解题步骤 2.3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{4 - 10}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

解题步骤 2.3.7.3

从 $4$ 中减去 $10$ 。

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

解题步骤 2.3.8

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$- 6 x + \frac{- 5}{6} x^{- 6} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

解题步骤 2.3.9

组合 $\frac{- 5}{6}$ 和 $x^{- 6}$ 。

$- 6 x + \frac{- 5 x^{- 6}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

解题步骤 2.3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 6}$ 移动到分母。

$- 6 x + \frac{- 5}{6 x^{6}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

解题步骤 2.3.11

将负号移到分数的前面。

$- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- \frac{3}{20}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{20}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}} + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

解题步骤 3.2.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$- 6 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- \frac{5}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{5}{6 x^{6}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ 。

$- 6 - \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{1}{x^{6}}$ 重写为 ${(x^{6})}^{- 1}$ 。

$- 6 - \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{6}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{6}$ 。

$- 6 - \frac{5}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 3.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 6 - \frac{5}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $x^{6}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 6 - \frac{5}{6} (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$- 6 - \frac{5}{6} (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

解题步骤 3.3.5

将 ${(x^{6})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 6 - \frac{5}{6} (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

解题步骤 3.3.5.2

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$- 6 - \frac{5}{6} (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

解题步骤 3.3.6

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{- 12} x^{5})$

解题步骤 3.3.7

通过指数相加将 $x^{- 12}$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 3.3.7.1

移动 $x^{5}$ 。

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

解题步骤 3.3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{5 - 12})$

解题步骤 3.3.7.3

从 $5$ 中减去 $12$ 。

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{- 7})$

解题步骤 3.3.8

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 + 6 (\frac{5}{6}) x^{- 7}$

解题步骤 3.3.9

组合 $6$ 和 $\frac{5}{6}$ 。

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6} x^{- 7}$

解题步骤 3.3.10

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$- 6 + \frac{30}{6} x^{- 7}$

解题步骤 3.3.11

组合 $\frac{30}{6}$ 和 $x^{- 7}$ 。

$- 6 + \frac{30 x^{- 7}}{6}$

解题步骤 3.3.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 7}$ 移动到分母。

$- 6 + \frac{30}{6 x^{7}}$

解题步骤 3.3.13

约去 $30$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.13.1

从 $30$ 中分解出因数 $6$ 。

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 x^{7}}$

解题步骤 3.3.13.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.13.2.1

从 $6 x^{7}$ 中分解出因数 $6$ 。

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 (x^{7})}$

解题步骤 3.3.13.2.2

约去公因数。

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 x^{7}}$

解题步骤 3.3.13.2.3

重写表达式。

$- 6 + \frac{5}{x^{7}}$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$f''' (x) = \frac{5}{x^{7}} - 6$

微积分学 示例

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