微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

解题步骤 1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\tan (x)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$2 \frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$2 \frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

解题步骤 2.1.2.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$2 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{0}{\tan (0)}$

解题步骤 2.1.3.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

解题步骤 2.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

解题步骤 2.3.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 3.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 3.3

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{\cos (0)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{\cos (0)}{\sec^{2} (0)}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 \frac{1}{\sec^{2} (0)}$

解题步骤 5.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.1

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 \frac{1}{1^{2}}$

解题步骤 5.2.2

一的任意次幂都为一。

$2 (\frac{1}{1})$

解题步骤 5.3

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$2 (\frac{1}{1})$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$2 \cdot 1$

解题步骤 5.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

微积分学 示例

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