微积分学示例

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 1)$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ 。

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.7

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 1.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.5

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 1.1.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 1.1.7

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 1.1.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.1.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10

化简。

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解题步骤 1.1.10.1

运用分配律。

$x^{\frac{1}{3}} (2 x) + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.2

运用分配律。

$x^{\frac{1}{3}} (2 x) + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3

合并项。

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解题步骤 1.1.10.3.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.10.3.1.1

移动 $x$ 。

$x \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 1.1.10.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + \frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.1.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.1.4

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{3 + 1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.1.5

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$x^{\frac{4}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.2

将 $2$ 移到 $x^{\frac{4}{3}}$ 的左侧。

$2 \cdot x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.3

将 $- 2$ 移到 $x^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.4

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{2}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.5

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{2}{3}}$ 移动到分子。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 1.1.10.3.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{2 - \frac{2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.6.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.6.3

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.6.4

在公分母上合并分子。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 3 - 2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.6.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.10.3.6.5.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{6 - 2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.6.5.2

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.7

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + x \frac{- 2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.8

组合 $x$ 和 $\frac{- 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{x \cdot - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.9

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 \cdot x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.10

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{2}{3}}$ 移动到分子。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.11

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 1.1.10.3.11.1

移动 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 (x^{- \frac{2}{3}} x)}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.11.2

将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.10.3.11.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 (x^{- \frac{2}{3}} x^{1})}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 x^{- \frac{2}{3} + 1}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.11.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 x^{- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.11.4

在公分母上合并分子。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 x^{\frac{- 2 + 3}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.11.5

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.12

将负号移到分数的前面。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.13

将 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.14

要将 $2 x^{\frac{4}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- 2 x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.15

组合 $2 x^{\frac{4}{3}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.16

在公分母上合并分子。

$- 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.17

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{6 x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.18

将 $6 x^{\frac{4}{3}}$ 和 $x^{\frac{4}{3}}$ 相加。

$- 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.19

要将 $- 2 x^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- 2 x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.20

组合 $- 2 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.21

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.22

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.23

从 $- 6 x^{\frac{1}{3}}$ 中减去 $2 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{- 8 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.3.24

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.4

重新排序项。

$f' (x) = \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $\frac{7}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ 。

$\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{4}{3}$ 。

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.2.6.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.2.7

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.2.8

将 $\frac{7}{3}$ 乘以 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{7 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.2.9

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.2.10

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 1.2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.3.3

使用 $x^{\frac{2}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.5

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.5.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 2$ 。

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解题步骤 1.2.3.5.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.5.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.8

在公分母上合并分子。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.9

化简分子。

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解题步骤 1.2.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.9.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.11

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.12

组合 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 和 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.13

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 1.2.3.13.1

移动 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.13.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.13.3

在公分母上合并分子。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.13.4

从 $- 4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.13.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{5}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.15

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.3.16

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

因为 $- \frac{8}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 1.2.4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.2.4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.2.4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.2.4.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 1.2.4.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 1.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 1.2.4.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.2.4.9

将 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 乘以 $\frac{8}{3}$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}} \cdot 8}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.4.10

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}} \cdot 8}{9}$

解题步骤 1.2.4.11

将 $8$ 移到 $x^{- \frac{2}{3}}$ 的左侧。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8 \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{9}$

解题步骤 1.2.4.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 2.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$9, 9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{2}{3}}, 1$

解题步骤 2.2.2

由于 $9, 9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{2}{3}}, 1$ 同时包括数值与变量，求最小公倍数的过程包含两步。求数值部分 $9, 9, 9, 1$ 的最小公倍数，然后求变量部分 $x^{\frac{5}{3}}, x^{\frac{2}{3}}$ 的最小公倍数。

解题步骤 2.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 2.2.4

$9$ 具有因式 $3$ 和 $3$ 。

$3 \cdot 3$

解题步骤 2.2.5

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 2.2.6

$9, 9, 9, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$3 \cdot 3$

解题步骤 2.2.7

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9$

解题步骤 2.2.8

$x^{\frac{5}{3}}, x^{\frac{2}{3}}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$x^{\frac{5}{3}}$

解题步骤 2.2.9

$9, 9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{2}{3}}, 1$ 的最小公倍数为数字部分 $9$ 乘以变量部分。

$9 x^{\frac{5}{3}}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 中的每一项乘以 $9 x^{\frac{5}{3}}$ 以消去分数。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 中的每一项乘以 $9 x^{\frac{5}{3}}$ 。

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$9 \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.2

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

约去公因数。

$9 \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

重写表达式。

$28 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.3

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{5}{3}}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1

移动 $x^{\frac{5}{3}}$ 。

$28 (x^{\frac{5}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$28 x^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.3.3

在公分母上合并分子。

$28 x^{\frac{5 + 1}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.3.4

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$28 x^{\frac{6}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.3.5

用 $6$ 除以 $3$ 。

$28 x^{2} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.4

约去 $9 x^{\frac{5}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.4.1

将 $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ 中前置负号移到分子中。

$28 x^{2} + \frac{- 2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.4.2

约去公因数。

$28 x^{2} + \frac{- 2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.4.3

重写表达式。

$28 x^{2} - 2 - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.5

约去 $x^{\frac{2}{3}} \cdot 9$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.5.1

将 $- \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}}$ 中前置负号移到分子中。

$28 x^{2} - 2 + \frac{- 8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.5.2

从 $9 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{2}{3}} \cdot 9$ 。

$28 x^{2} - 2 + \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 (1)} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.5.3

从 $9 x^{\frac{5}{3}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{2}{3}} \cdot 9$ 。

$28 x^{2} - 2 + \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 (1)} (x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 (x^{\frac{3}{3}})) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.5.4

约去公因数。

$28 x^{2} - 2 + \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 \cdot 1} (x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 x^{\frac{3}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.5.5

重写表达式。

$28 x^{2} - 2 - 8 x^{\frac{3}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.6

用 $3$ 除以 $3$ 。

$28 x^{2} - 2 - 8 x^{1} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.7

化简。

$28 x^{2} - 2 - 8 x = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

乘以 $0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$28 x^{2} - 2 - 8 x = 0 x^{\frac{5}{3}}$

解题步骤 2.3.3.1.2

将 $0$ 乘以 $x^{\frac{5}{3}}$ 。

$28 x^{2} - 2 - 8 x = 0$

解题步骤 2.4

求解方程。

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解题步骤 2.4.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.4.1.1

从 $28 x^{2} - 2 - 8 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.4.1.1.1

从 $28 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (14 x^{2}) - 2 - 8 x = 0$

解题步骤 2.4.1.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (14 x^{2}) + 2 (- 1) - 8 x = 0$

解题步骤 2.4.1.1.3

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (14 x^{2}) + 2 (- 1) + 2 (- 4 x) = 0$

解题步骤 2.4.1.1.4

从 $2 (14 x^{2}) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (14 x^{2} - 1) + 2 (- 4 x) = 0$

解题步骤 2.4.1.1.5

从 $2 (14 x^{2} - 1) + 2 (- 4 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (14 x^{2} - 1 - 4 x) = 0$

解题步骤 2.4.1.2

重新排序项。

$2 (14 x^{2} - 4 x - 1) = 0$

解题步骤 2.4.2

将 $2 (14 x^{2} - 4 x - 1) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $2 (14 x^{2} - 4 x - 1) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (14 x^{2} - 4 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (14 x^{2} - 4 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

用 $14 x^{2} - 4 x - 1$ 除以 $1$ 。

$14 x^{2} - 4 x - 1 = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$14 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

解题步骤 2.4.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.4

将 $a = 14$ 、 $b = - 4$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (14 \cdot - 1)}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.5

化简。

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解题步骤 2.4.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.5.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 14 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 14 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.4.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $14$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 56 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.5.1.2.2

将 $- 56$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 56}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.5.1.3

将 $16$ 和 $56$ 相加。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.5.1.4

将 $72$ 重写为 $6^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.4.5.1.4.1

从 $72$ 中分解出因数 $36$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.5.1.4.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.5.2

将 $2$ 乘以 $14$ 。

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$

解题步骤 2.4.5.3

化简 $\frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$ 。

$x = \frac{2 \pm 3 \sqrt{2}}{14}$

解题步骤 2.4.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.6.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 14 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 14 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.4.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $14$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 56 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.6.1.2.2

将 $- 56$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 56}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.6.1.3

将 $16$ 和 $56$ 相加。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.6.1.4

将 $72$ 重写为 $6^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.4.6.1.4.1

从 $72$ 中分解出因数 $36$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.6.1.4.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.6.2

将 $2$ 乘以 $14$ 。

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$

解题步骤 2.4.6.3

化简 $\frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$ 。

$x = \frac{2 \pm 3 \sqrt{2}}{14}$

解题步骤 2.4.6.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{2 + 3 \sqrt{2}}{14}$

解题步骤 2.4.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.7.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 14 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 14 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.4.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $14$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 56 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.7.1.2.2

将 $- 56$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 56}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.7.1.3

将 $16$ 和 $56$ 相加。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.7.1.4

将 $72$ 重写为 $6^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.4.7.1.4.1

从 $72$ 中分解出因数 $36$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.7.1.4.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.7.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot 14}$

解题步骤 2.4.7.2

将 $2$ 乘以 $14$ 。

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$

解题步骤 2.4.7.3

化简 $\frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$ 。

$x = \frac{2 \pm 3 \sqrt{2}}{14}$

解题步骤 2.4.7.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{2 - 3 \sqrt{2}}{14}$

解题步骤 2.4.8

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{2 + 3 \sqrt{2}}{14}, \frac{2 - 3 \sqrt{2}}{14}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $0.4459029$ 代入 $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 1)$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0.4459029$ 替换变量 $x$ 。

$f (0.4459029) = {(0.4459029)}^{\frac{1}{3}} ({(0.4459029)}^{2} - 2 \cdot 0.4459029 + 1)$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

对 $0.4459029$ 进行 $\frac{1}{3}$ 次方运算。

$f (0.4459029) = 0.76397667 ({(0.4459029)}^{2} - 2 \cdot 0.4459029 + 1)$

解题步骤 3.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.2.1

对 $0.4459029$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (0.4459029) = 0.76397667 (0.1988294 - 2 \cdot 0.4459029 + 1)$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $- 2$ 乘以 $0.4459029$ 。

$f (0.4459029) = 0.76397667 (0.1988294 - 0.89180581 + 1)$

解题步骤 3.1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 3.1.2.3.1

从 $0.1988294$ 中减去 $0.89180581$ 。

$f (0.4459029) = 0.76397667 (- 0.69297641 + 1)$

解题步骤 3.1.2.3.2

将 $- 0.69297641$ 和 $1$ 相加。

$f (0.4459029) = 0.76397667 \cdot 0.30702358$

解题步骤 3.1.2.3.3

将 $0.76397667$ 乘以 $0.30702358$ 。

$f (0.4459029) = 0.23455886$

解题步骤 3.1.2.4

最终答案为 $0.23455886$ 。

$0.23455886$

解题步骤 3.2

通过将 $0.4459029$ 代入 $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 1)$ 中求得的点为 $(0.4459029, 0.23455886)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0.4459029, 0.23455886)$

解题步骤 3.3

将 $- 0.16018862$ 代入 $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 1)$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $- 0.16018862$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 0.16018862) = {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}} ({(- 0.16018862)}^{2} - 2 \cdot - 0.16018862 + 1)$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $- 0.16018862$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 0.16018862) = {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}} (0.02566039 - 2 \cdot - 0.16018862 + 1)$

解题步骤 3.3.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 0.16018862$ 。

$f (- 0.16018862) = {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}} (0.02566039 + 0.32037724 + 1)$

解题步骤 3.3.2.2

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将 $0.02566039$ 和 $0.32037724$ 相加。

$f (- 0.16018862) = {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}} (0.34603763 + 1)$

解题步骤 3.3.2.2.2

将 $0.34603763$ 和 $1$ 相加。

$f (- 0.16018862) = {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1.34603763$

解题步骤 3.3.2.2.3

将 $1.34603763$ 移到 ${(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$f (- 0.16018862) = 1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 3.4

通过将 $- 0.16018862$ 代入 $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 1)$ 中求得的点为 $(- 0.16018862, 1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 0.16018862, 1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(0.4459029, 0.23455886), (- 0.16018862, 1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 0.16018862) \cup (- 0.16018862, 0.4459029) \cup (0.4459029, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 0.16018862)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 0.26018862$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

要将 $- \frac{8}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}$ 。

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 5.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}$ 的形式。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $\frac{8}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}$ 。

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}} {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 5.2.2.2

通过指数相加将 ${(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}$ 。

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解题步骤 5.2.2.2.1

移动 ${(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}$ 。

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}} {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 5.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

解题步骤 5.2.2.2.3

在公分母上合并分子。

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{3 + 2}{3}}}$

解题步骤 5.2.2.2.4

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 5.2.3

在公分母上合并分子。

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{- 2 - 8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 5.2.4

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1.1

约去公因数。

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{- 2 - 8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 5.2.4.1.2

重写表达式。

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{- 2 - 8 \cdot - 0.26018862}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 5.2.4.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.4.2.1

计算指数。

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{- 2 - 8 \cdot - 0.26018862}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 5.2.4.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 0.26018862$ 。

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{- 2 + 2.08150896}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 5.2.4.2.3

将 $- 2$ 和 $2.08150896$ 相加。

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{0.08150896}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 5.2.5

最终答案为 $\frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{0.08150896}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$ 。

$\frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{0.08150896}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 5.3

在 $- 0.26018862$ ，二阶导数为 $- 2.07155288$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - 0.16018862)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 0.16018862)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- 0.16018862, 0.4459029)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0.\overline{142857}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.\overline{142857}) = \frac{28 {(0.\overline{142857})}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0.\overline{142857}$ 进行 $\frac{1}{3}$ 次方运算。

$f'' (0.\overline{142857}) = \frac{28 \cdot 0.52275795}{9} - \frac{2}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $28$ 乘以 $0.52275795$ 。

$f'' (0.\overline{142857}) = \frac{14.63722284}{9} - \frac{2}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.3

用 $14.63722284$ 除以 $9$ 。

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - \frac{2}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.4

对 $0.\overline{142857}$ 进行 $\frac{5}{3}$ 次方运算。

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - \frac{2}{9 \cdot 0.03903941} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.5

将 $9$ 乘以 $0.03903941$ 。

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - \frac{2}{0.3513547} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.6

用 $2$ 除以 $0.3513547$ 。

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 1 \cdot 5.69225332 - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $5.69225332$ 。

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 5.69225332 - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.8

对 $0.\overline{142857}$ 进行 $\frac{2}{3}$ 次方运算。

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 5.69225332 - \frac{8}{9 \cdot 0.27327588}$

解题步骤 6.2.1.9

将 $9$ 乘以 $0.27327588$ 。

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 5.69225332 - \frac{8}{2.45948294}$

解题步骤 6.2.1.10

用 $8$ 除以 $2.45948294$ 。

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 5.69225332 - 1 \cdot 3.25271618$

解题步骤 6.2.1.11

将 $- 1$ 乘以 $3.25271618$ 。

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 5.69225332 - 3.25271618$

解题步骤 6.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $1.62635809$ 中减去 $5.69225332$ 。

$f'' (0.\overline{142857}) = - 4.06589523 - 3.25271618$

解题步骤 6.2.2.2

从 $- 4.06589523$ 中减去 $3.25271618$ 。

$f'' (0.\overline{142857}) = - 7.31861142$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 7.31861142$ 。

$- 7.31861142$

解题步骤 6.3

在 $0.\overline{142857}$ ，二阶导数为 $- 7.31861142$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 0.16018862, 0.4459029)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 0.16018862, 0.4459029)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0.4459029, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.5459029$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.5459029) = \frac{28 {(0.5459029)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(0.5459029)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0.5459029$ 进行 $\frac{1}{3}$ 次方运算。

$f'' (0.5459029) = \frac{28 \cdot 0.81728175}{9} - \frac{2}{9 {(0.5459029)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $28$ 乘以 $0.81728175$ 。

$f'' (0.5459029) = \frac{22.88388904}{9} - \frac{2}{9 {(0.5459029)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.3

用 $22.88388904$ 除以 $9$ 。

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - \frac{2}{9 {(0.5459029)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.4

对 $0.5459029$ 进行 $\frac{5}{3}$ 次方运算。

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - \frac{2}{9 \cdot 0.36463555} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.5

将 $9$ 乘以 $0.36463555$ 。

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - \frac{2}{3.28171997} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.6

用 $2$ 除以 $3.28171997$ 。

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 1 \cdot 0.60943652 - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $0.60943652$ 。

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 0.60943652 - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.8

对 $0.5459029$ 进行 $\frac{2}{3}$ 次方运算。

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 0.60943652 - \frac{8}{9 \cdot 0.66794946}$

解题步骤 7.2.1.9

将 $9$ 乘以 $0.66794946$ 。

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 0.60943652 - \frac{8}{6.01154515}$

解题步骤 7.2.1.10

用 $8$ 除以 $6.01154515$ 。

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 0.60943652 - 1 \cdot 1.33077267$

解题步骤 7.2.1.11

将 $- 1$ 乘以 $1.33077267$ 。

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 0.60943652 - 1.33077267$

解题步骤 7.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $2.54265433$ 中减去 $0.60943652$ 。

$f'' (0.5459029) = 1.93321781 - 1.33077267$

解题步骤 7.2.2.2

从 $1.93321781$ 中减去 $1.33077267$ 。

$f'' (0.5459029) = 0.60244514$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $0.60244514$ 。

$0.60244514$

解题步骤 7.3

在 $0.5459029$ 处，二阶导数为 $0.60244514$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0.4459029, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0.4459029, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(0.4459029, 0.23455886)$ 。

$(0.4459029, 0.23455886)$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例