微积分学示例

$(x - 1) \sqrt{x}$

解题步骤 1

将 $(x - 1) \sqrt{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = (x - 1) \sqrt{x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int (x - 1) \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int (x - 1) x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5

展开 $(x - 1) x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5.5

在公分母上合并分子。

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int x^{\frac{3}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 10

化简。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = (x - 1) \sqrt{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

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