微积分学示例

$\int_{0}^{4} \frac{p}{\sqrt{9 + p^{2}}} d p$

解题步骤 1

使 $u = 9 + p^{2}$ 。然后使 $d u = 2 p d p$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = p d p$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 9 + p^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d p}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $9 + p^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d p} [9 + p^{2}]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $9 + p^{2}$ 对 $p$ 的导数是 $\frac{d}{d p} [9] + \frac{d}{d p} [p^{2}]$ 。

$\frac{d}{d p} [9] + \frac{d}{d p} [p^{2}]$

解题步骤 1.1.3

因为 $9$ 对于 $p$ 是常数，所以 $9$ 对 $p$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d p} [p^{2}]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 等于 $n p^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 p$

解题步骤 1.1.5

将 $0$ 和 $2 p$ 相加。

$2 p$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 9 + p^{2}$ 中的 $p$ 。

$u_{lower} = 9 + 0^{2}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 9 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 9$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 9 + p^{2}$ 中的 $p$ 。

$u_{upper} = 9 + 4^{2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 9 + 16$

解题步骤 1.5.2

将 $9$ 和 $16$ 相加。

$u_{upper} = 25$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 25$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{9}^{25} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{9}^{25} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$\int_{9}^{25} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{9}^{25} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{9}^{25} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 4.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} \int_{9}^{25} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{9}^{25} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int_{9}^{25} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 4.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} \int_{9}^{25} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{9}^{25}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 在 $25$ 处和在 $9$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5^{1} - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.4

计算指数。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5 - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.5

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.6

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.7

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})})$

解题步骤 6.2.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.8.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})})$

解题步骤 6.2.8.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 3^{1})$

解题步骤 6.2.9

计算指数。

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 3)$

解题步骤 6.2.10

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2} (10 - 6)$

解题步骤 6.2.11

从 $10$ 中减去 $6$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 4$

解题步骤 6.2.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{2}$

解题步骤 6.2.13

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.13.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 6.2.13.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.13.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

解题步骤 6.2.13.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.13.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1}$

解题步骤 6.2.13.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2$

解题步骤 7

微积分学 示例

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