微积分学示例

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{3}{4} x^{2} d x + \int - \frac{4}{5} x^{3} d x$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} x + C + \int \frac{3}{4} x^{2} d x + \int - \frac{4}{5} x^{3} d x$

解题步骤 6

由于 $\frac{3}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{4} \int x^{2} d x + \int - \frac{4}{5} x^{3} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{4}{5} x^{3} d x$

解题步骤 8

由于 $- \frac{4}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{4}{5}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \frac{4}{5} \int x^{3} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4}{5} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{x^{4}}{4} + C$

解题步骤 10.2.2

将 $\frac{x^{4}}{4}$ 乘以 $\frac{4}{5}$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{4} \cdot 4}{4 \cdot 5} + C$

解题步骤 10.2.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{4} \cdot 4}{20} + C$

解题步骤 10.2.4

将 $4$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4 \cdot x^{4}}{20} + C$

解题步骤 10.2.5

约去 $4$ 和 $20$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.5.1

从 $4 x^{4}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4 (x^{4})}{20} + C$

解题步骤 10.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.5.2.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4 x^{4}}{4 \cdot 5} + C$

解题步骤 10.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4 x^{4}}{4 \cdot 5} + C$

解题步骤 10.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{4}}{5} + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{5} x^{4} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{5} x^{4} + C$

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