微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

解题步骤 1.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$- 2 x^{- 3}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 1.3.2

合并项。

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解题步骤 1.3.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{- 2}{x^{3}}$

解题步骤 1.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1}$

解题步骤 2.2.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3 \cdot - 1}$

解题步骤 2.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{- 3}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$f'' (x) = - 2 (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 2.4

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 6 x^{- 4}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{x^{4}})$

解题步骤 2.5.2

组合 $6$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{x^{4}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{2}{x^{3}} = 0$

解题步骤 4

因为 $x$ 没有使一阶导数等于 $0$ 的值，所以不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 5

不存在局部极值

解题步骤 6

微积分学 示例

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