微积分学示例

$y = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $- 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$

解题步骤 1.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 \sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))]$ 。

$0 - 4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ 。

$0 - 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})])$

解题步骤 1.2.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})])$

解题步骤 1.2.3

因为 $\frac{π}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{3}]$ 。

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{3}]))$

解题步骤 1.2.4

根据加法法则， $x - \frac{1}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$ 。

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}])))$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}])))$

解题步骤 1.2.6

因为 $- \frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (1 + 0)))$

解题步骤 1.2.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} \cdot 1))$

解题步骤 1.2.8

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $1$ 。

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.9

组合 $\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$ 和 $\frac{π}{2}$ 。

$0 - 4 \frac{\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{2}$

解题步骤 1.2.10

组合 $- 4$ 和 $\frac{\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{2}$ 。

$0 + \frac{- 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2}$

解题步骤 1.2.11

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.11.1

从 $- 4 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2}$

解题步骤 1.2.11.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.11.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2 (1)}$

解题步骤 1.2.11.2.2

约去公因数。

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.11.2.3

重写表达式。

$0 + \frac{- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{1}$

解题步骤 1.2.11.2.4

用 $- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$ 除以 $1$ 。

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x + \frac{π}{2} (- \frac{1}{3})) π$

解题步骤 1.3.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{2 \cdot 3}) π$

解题步骤 1.3.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{6}) π$

解题步骤 1.3.2.3

组合 $\frac{π}{2}$ 和 $x$ 。

$0 - 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$

解题步骤 1.3.2.4

从 $0$ 中减去 $2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$ 。

$- 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $- 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$ 的因式。

$- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

因为 $- 2 π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 π \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})]$ 。

$f'' (x) = - 2 π \frac{d}{d x} \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ 。

$f'' (x) = - 2 π (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$f'' (x) = - 2 π (- \sin (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.2.3

使用 $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - 2 π (- \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 2 π (\sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ 。

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.3.3

因为 $\frac{π}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{π x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.3.5

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.3.6

因为 $- \frac{π}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{π}{6}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} + 0)$

解题步骤 2.3.7

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.7.1

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2})$

解题步骤 2.3.7.2

组合 $\frac{π}{2}$ 和 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{π \cdot 2}{2} \cdot (π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.3.7.3

组合 $\frac{π \cdot 2}{2}$ 和 $π$ 。

$f'' (x) = \frac{π \cdot (2 π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 2.4

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{2 (π π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 2.5

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{2 (π π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{2 π^{1 + 1}}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 π^{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 2.8

组合 $\frac{2 π^{2}}{2}$ 和 $\sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ 。

$f'' (x) = \frac{2 π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{2}$

解题步骤 2.9

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.9.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{2 π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{2}$

解题步骤 2.9.2

用 $π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ 除以 $1$ 。

$f'' (x) = π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$

解题步骤 4

将 $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$ 中的每一项除以 $- 2 π$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$ 中的每一项都除以 $- 2 π$ 。

$\frac{- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

解题步骤 4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

解题步骤 4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

解题步骤 4.2.2

约去 $π$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

解题步骤 4.2.2.2

用 $\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ 除以 $1$ 。

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{- 2 π}$

解题步骤 4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

约去 $0$ 和 $- 2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 (0)}{- 2 π}$

解题步骤 4.3.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.2.1

从 $- 2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 (0)}{2 (- π)}$

解题步骤 4.3.1.2.2

约去公因数。

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 0}{2 (- π)}$

解题步骤 4.3.1.2.3

重写表达式。

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{- π}$

解题步骤 4.3.2

用 $0$ 除以 $- π$ 。

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$

解题步骤 5

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \arccos (0)$

解题步骤 6

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

解题步骤 7

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{6}$ 。

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6}$

解题步骤 7.2

要将 $\frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

解题步骤 7.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

解题步骤 7.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

解题步骤 7.4

在公分母上合并分子。

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3 + π}{6}$

解题步骤 7.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.5.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{π x}{2} = \frac{3 \cdot π + π}{6}$

解题步骤 7.5.2

将 $3 π$ 和 $π$ 相加。

$\frac{π x}{2} = \frac{4 π}{6}$

解题步骤 7.6

约去 $4$ 和 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.6.1

从 $4 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{6}$

解题步骤 7.6.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

解题步骤 7.6.2.2

约去公因数。

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.6.2.3

重写表达式。

$\frac{π x}{2} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 8

等式两边同时乘以 $\frac{2}{π}$ 。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 9

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

化简 $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 9.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 9.1.1.2

约去 $π$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1.2.1

从 $π x$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 9.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 9.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 9.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

化简 $\frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1.1

约去 $π$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1.1.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

解题步骤 9.2.1.1.2

约去公因数。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

解题步骤 9.2.1.1.3

重写表达式。

$x = 2 (\frac{2}{3})$

解题步骤 9.2.1.2

组合 $2$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$x = \frac{2 \cdot 2}{3}$

解题步骤 9.2.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4}{3}$

解题步骤 10

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 11

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 11.1.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 11.1.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 11.1.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 11.1.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 11.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{6}$ 。

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{6}$

解题步骤 11.2.2

要将 $\frac{3 π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

解题步骤 11.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.3.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

解题步骤 11.2.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

解题步骤 11.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3 + π}{6}$

解题步骤 11.2.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.5.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{π x}{2} = \frac{9 π + π}{6}$

解题步骤 11.2.5.2

将 $9 π$ 和 $π$ 相加。

$\frac{π x}{2} = \frac{10 π}{6}$

解题步骤 11.2.6

约去 $10$ 和 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.6.1

从 $10 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{6}$

解题步骤 11.2.6.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

解题步骤 11.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

解题步骤 11.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{π x}{2} = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 11.3

等式两边同时乘以 $\frac{2}{π}$ 。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

解题步骤 11.4

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.1.1

化简 $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

解题步骤 11.4.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

解题步骤 11.4.1.1.2

约去 $π$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.1.1.2.1

从 $π x$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

解题步骤 11.4.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

解题步骤 11.4.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

解题步骤 11.4.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.2.1

化简 $\frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.2.1.1

约去 $π$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.2.1.1.1

从 $5 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

解题步骤 11.4.2.1.1.2

约去公因数。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

解题步骤 11.4.2.1.1.3

重写表达式。

$x = 2 (\frac{5}{3})$

解题步骤 11.4.2.1.2

组合 $2$ 和 $\frac{5}{3}$ 。

$x = \frac{2 \cdot 5}{3}$

解题步骤 11.4.2.1.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$x = \frac{10}{3}$

解题步骤 12

方程 $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = \frac{4}{3}, \frac{10}{3}$

解题步骤 13

计算在 $x = \frac{4}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$π^{2} \sin (\frac{π (\frac{4}{3})}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 14

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$π^{2} \sin (\frac{\frac{π \cdot 4}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 14.1.2

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$π^{2} \sin (\frac{\frac{4 π}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 14.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$π^{2} \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 14.1.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1.4.1

从 $4 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$π^{2} \sin (\frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 14.1.4.2

约去公因数。

$π^{2} \sin (\frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 14.1.4.3

重写表达式。

$π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6})$

解题步骤 14.2

要将 $\frac{2 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 14.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.3.1

将 $\frac{2 π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 14.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})$

解题步骤 14.4

在公分母上合并分子。

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6})$

解题步骤 14.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$π^{2} \sin (\frac{4 π - π}{6})$

解题步骤 14.5.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{6})$

解题步骤 14.6

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.6.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})$

解题步骤 14.6.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

解题步骤 14.6.2.2

约去公因数。

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

解题步骤 14.6.2.3

重写表达式。

$π^{2} \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 14.7

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$π^{2} \cdot 1$

解题步骤 14.8

将 $π^{2}$ 乘以 $1$ 。

$π^{2}$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{4}{3}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{4}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 16

求 $x = \frac{4}{3}$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1

使用表达式中的 $\frac{4}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot ((\frac{4}{3}) - \frac{1}{3}))$

解题步骤 16.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.1.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{4 - 1}{3})$

解题步骤 16.2.1.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 16.2.1.3

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.1.3.1

约去公因数。

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 16.2.1.3.2

重写表达式。

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot 1)$

解题步骤 16.2.1.4

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 16.2.1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \cdot 1$

解题步骤 16.2.1.6

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4$

解题步骤 16.2.2

从 $- 2$ 中减去 $4$ 。

$f (\frac{4}{3}) = - 6$

解题步骤 16.2.3

最终答案为 $- 6$ 。

$y = - 6$

解题步骤 17

计算在 $x = \frac{10}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$π^{2} \sin (\frac{π (\frac{10}{3})}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 18

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.1.1

组合 $π$ 和 $\frac{10}{3}$ 。

$π^{2} \sin (\frac{\frac{π \cdot 10}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 18.1.2

将 $10$ 移到 $π$ 的左侧。

$π^{2} \sin (\frac{\frac{10 π}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 18.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$π^{2} \sin (\frac{10 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 18.1.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.1.4.1

从 $10 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$π^{2} \sin (\frac{2 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 18.1.4.2

约去公因数。

$π^{2} \sin (\frac{2 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 18.1.4.3

重写表达式。

$π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6})$

解题步骤 18.2

要将 $\frac{5 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 18.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.3.1

将 $\frac{5 π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})$

解题步骤 18.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})$

解题步骤 18.4

在公分母上合并分子。

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6})$

解题步骤 18.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.5.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$π^{2} \sin (\frac{10 π - π}{6})$

解题步骤 18.5.2

从 $10 π$ 中减去 $π$ 。

$π^{2} \sin (\frac{9 π}{6})$

解题步骤 18.6

约去 $9$ 和 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.6.1

从 $9 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{6})$

解题步骤 18.6.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

解题步骤 18.6.2.2

约去公因数。

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

解题步骤 18.6.2.3

重写表达式。

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 18.7

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 18.8

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$π^{2} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 18.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$π^{2} \cdot - 1$

解题步骤 18.10

将 $- 1$ 移到 $π^{2}$ 的左侧。

$- 1 \cdot π^{2}$

解题步骤 18.11

将 $- 1 π^{2}$ 重写为 $- π^{2}$ 。

$- π^{2}$

解题步骤 19

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{10}{3}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{10}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 20

求 $x = \frac{10}{3}$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.1

使用表达式中的 $\frac{10}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot ((\frac{10}{3}) - \frac{1}{3}))$

解题步骤 20.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.2.1.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{10 - 1}{3})$

解题步骤 20.2.1.2

从 $10$ 中减去 $1$ 。

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{9}{3})$

解题步骤 20.2.1.3

用 $9$ 除以 $3$ 。

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

解题步骤 20.2.1.4

组合 $\frac{π}{2}$ 和 $3$ 。

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

解题步骤 20.2.1.5

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

解题步骤 20.2.1.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 20.2.1.7

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 20.2.1.8

乘以 $- 4 (- 1 \cdot 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.2.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \cdot - 1$

解题步骤 20.2.1.8.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{10}{3}) = - 2 + 4$

解题步骤 20.2.2

将 $- 2$ 和 $4$ 相加。

$f (\frac{10}{3}) = 2$

解题步骤 20.2.3

最终答案为 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 21

这些是 $f (x) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))$ 的局部极值。

$(\frac{4}{3}, - 6)$ 是一个局部最小值

$(\frac{10}{3}, 2)$ 是一个局部最大值

解题步骤 22

微积分学 示例

微积分学示例