微积分学示例

$y = \arctan (\frac{x}{2})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 3.1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ 。

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

解题步骤 3.2.4

将 $\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

对 $\frac{x}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{2 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 3.3.3

合并项。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 3.3.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{4}}$

解题步骤 3.3.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{x^{2}}{4}$ 。

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{4}}$

解题步骤 3.3.3.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.4.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 + \frac{2 (x^{2})}{4}}$

解题步骤 3.3.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.3.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2 + \frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 3.3.4

重新排序项。

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + 2}$

解题步骤 3.3.5

化简分母。

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解题步骤 3.3.5.1

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 3.3.5.2

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.3.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.3.5.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 4}{2}}$

解题步骤 3.3.6

将分子乘以分母的倒数。

$1 \frac{2}{x^{2} + 4}$

解题步骤 3.3.7

将 $\frac{2}{x^{2} + 4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{x^{2} + 4}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{2}{x^{2} + 4}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2} + 4}$

微积分学 示例

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