微积分学示例

$f (x) = x^{5} - \frac{2}{x^{3}} - 4 x + 2$ ?

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{5} - \frac{2}{x^{3}} - 4 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$5 x^{4} - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$5 x^{4} - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 x^{4} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 x^{4} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.5

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 x^{4} - 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.5.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$5 x^{4} - 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.7

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$5 x^{4} - 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.7.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.8

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.3.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 + 0$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$5 x^{4} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 + 0$

解题步骤 1.5.2

合并项。

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解题步骤 1.5.2.1

组合 $6$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4 + 0$

解题步骤 1.5.2.2

将 $5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.2.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{6}{x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 。

$20 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{x^{4}}$ 重写为 ${(x^{4})}^{- 1}$ 。

$20 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4}$ 。

$20 x^{3} + 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$20 x^{3} + 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$20 x^{3} + 6 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$20 x^{3} + 6 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.3.5

将 ${(x^{4})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$20 x^{3} + 6 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.3.5.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$20 x^{3} + 6 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.3.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.3.7

通过指数相加将 $x^{- 8}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.3.7.1

移动 $x^{3}$ 。

$20 x^{3} + 6 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.3.7.3

从 $3$ 中减去 $8$ 。

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.3.8

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$20 x^{3} - 24 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$20 x^{3} - 24 x^{- 5} + 0$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$20 x^{3} - 24 \frac{1}{x^{5}} + 0$

解题步骤 2.5.2

合并项。

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解题步骤 2.5.2.1

组合 $- 24$ 和 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$20 x^{3} + \frac{- 24}{x^{5}} + 0$

解题步骤 2.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}} + 0$

解题步骤 2.5.2.3

将 $20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

解题步骤 3.2.3

将 $3$ 乘以 $20$ 。

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{24}{x^{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ 。

$60 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{1}{x^{5}}$ 重写为 ${(x^{5})}^{- 1}$ 。

$60 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{5}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{5}$ 。

$60 x^{2} - 24 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 3.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$60 x^{2} - 24 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $x^{5}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$60 x^{2} - 24 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$60 x^{2} - 24 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

解题步骤 3.3.5

将 ${(x^{5})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$60 x^{2} - 24 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

解题步骤 3.3.5.2

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$60 x^{2} - 24 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

解题步骤 3.3.6

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

解题步骤 3.3.7

通过指数相加将 $x^{- 10}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.3.7.1

移动 $x^{4}$ 。

$60 x^{2} - 24 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

解题步骤 3.3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{4 - 10})$

解题步骤 3.3.7.3

从 $4$ 中减去 $10$ 。

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{- 6})$

解题步骤 3.3.8

将 $- 5$ 乘以 $- 24$ 。

$60 x^{2} + 120 x^{- 6}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$60 x^{2} + 120 \frac{1}{x^{6}}$

解题步骤 3.4.2

组合 $120$ 和 $\frac{1}{x^{6}}$ 。

$f''' (x) = 60 x^{2} + \frac{120}{x^{6}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $60 x^{2} + \frac{120}{x^{6}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $60$ 对于 $x$ 是常数，所以 $60 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

解题步骤 4.2.3

将 $2$ 乘以 $60$ 。

$120 x + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $120$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{120}{x^{6}}$ 对 $x$ 的导数是 $120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ 。

$120 x + 120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{1}{x^{6}}$ 重写为 ${(x^{6})}^{- 1}$ 。

$120 x + 120 \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

解题步骤 4.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{6}$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{6}$ 。

$120 x + 120 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 4.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$120 x + 120 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 4.3.3.3

使用 $x^{6}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$120 x + 120 (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$120 x + 120 (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

解题步骤 4.3.5

将 ${(x^{6})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$120 x + 120 (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

解题步骤 4.3.5.2

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$120 x + 120 (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

解题步骤 4.3.6

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$120 x + 120 (- 6 x^{- 12} x^{5})$

解题步骤 4.3.7

通过指数相加将 $x^{- 12}$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 4.3.7.1

移动 $x^{5}$ 。

$120 x + 120 (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

解题步骤 4.3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$120 x + 120 (- 6 x^{5 - 12})$

解题步骤 4.3.7.3

从 $5$ 中减去 $12$ 。

$120 x + 120 (- 6 x^{- 7})$

解题步骤 4.3.8

将 $- 6$ 乘以 $120$ 。

$120 x - 720 x^{- 7}$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$120 x - 720 \frac{1}{x^{7}}$

解题步骤 4.4.2

合并项。

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解题步骤 4.4.2.1

组合 $- 720$ 和 $\frac{1}{x^{7}}$ 。

$120 x + \frac{- 720}{x^{7}}$

解题步骤 4.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = 120 x - \frac{720}{x^{7}}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $120 x - \frac{720}{x^{7}}$ 。

$120 x - \frac{720}{x^{7}}$

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