微积分学示例

$\int \sqrt{7 - x^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \sqrt{7} \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sqrt{7} \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sqrt{7} \cos (t)$ 为正数。

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - {(\sqrt{7} \sin (t))}^{2}} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - {(\sqrt{7} \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\sqrt{7} \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.2

乘以 $1$ 。

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 ${\sqrt{7}}^{2}$ 。

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{7}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.4

从 ${\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{7}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ 中分解出因数 ${\sqrt{7}}^{2}$ 。

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.6

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 2.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \sqrt{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \sqrt{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \sqrt{7^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.6.4.1

约去公因数。

$\int \sqrt{7^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.6.4.2

重写表达式。

$\int \sqrt{7^{1} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.6.5

计算指数。

$\int \sqrt{7 \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

$\int \sqrt{7 \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.7

将 $7$ 和 $\cos^{2} (t)$ 重新排序。

$\int \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 7} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.8

从根式下提出各项。

$\int \cos (t) \sqrt{7} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

解题步骤 2.2.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

解题步骤 2.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \cos^{2} (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

解题步骤 2.2.5

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}) d t$

解题步骤 2.2.6

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}) d t$

解题步骤 2.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{7}}^{1 + 1} d t$

解题步骤 2.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{7}}^{2} d t$

解题步骤 2.2.9

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 2.2.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \cos^{2} (t) {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

解题步骤 2.2.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

解题步骤 2.2.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{2}{2}} d t$

解题步骤 2.2.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.9.4.1

约去公因数。

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{2}{2}} d t$

解题步骤 2.2.9.4.2

重写表达式。

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{1} d t$

解题步骤 2.2.9.5

计算指数。

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7 d t$

解题步骤 2.2.10

将 $7$ 移到 $\cos^{2} (t)$ 的左侧。

$\int 7 \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 3

由于 $7$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$7 \int \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 4

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (t)$ 的形式。

$7 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$7 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $7$ 。

$\frac{7}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{7}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{7}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

解题步骤 9

使 $u = 2 t$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u = 2 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 9.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 9.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{7}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 10

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{7}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{7}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 12

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{7}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

解题步骤 13

化简。

$\frac{7}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 14

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 14.1

使用 $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 14.2

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

解题步骤 14.3

使用 $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}))) + C$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

将 $\frac{x}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}))) + C$

解题步骤 15.1.2

合并和化简分母。

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解题步骤 15.1.2.1

将 $\frac{x}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}))) + C$

解题步骤 15.1.2.2

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}))) + C$

解题步骤 15.1.2.3

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}))) + C$

解题步骤 15.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}))) + C$

解题步骤 15.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}))) + C$

解题步骤 15.1.2.6

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 15.1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}))) + C$

解题步骤 15.1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}))) + C$

解题步骤 15.1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}))) + C$

解题步骤 15.1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.2.6.4.1

约去公因数。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}))) + C$

解题步骤 15.1.2.6.4.2

重写表达式。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{1}}))) + C$

解题步骤 15.1.2.6.5

计算指数。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))) + C$

解题步骤 15.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))$ 。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}) + C$

解题步骤 15.2

运用分配律。

$\frac{7}{2} \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2} + C$

解题步骤 15.3

组合 $\frac{7}{2}$ 和 $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ 。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2} + C$

解题步骤 15.4

乘以 $\frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}$ 。

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解题步骤 15.4.1

将 $\frac{7}{2}$ 乘以 $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}$ 。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 15.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

将 $\frac{x}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

解题步骤 16.2

合并和化简分母。

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解题步骤 16.2.1

将 $\frac{x}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

解题步骤 16.2.2

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

解题步骤 16.2.3

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

解题步骤 16.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

解题步骤 16.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

解题步骤 16.2.6

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 16.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

解题步骤 16.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

解题步骤 16.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

解题步骤 16.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.6.4.1

约去公因数。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

解题步骤 16.2.6.4.2

重写表达式。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

解题步骤 16.2.6.5

计算指数。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

解题步骤 16.3

重新排序项。

$\frac{7}{2} \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{7} x) + \frac{7}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{7} x)) + C$

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