微积分学示例

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} \cos (x) d x$

解题步骤 1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{0}^{1} x^{2} \cos (x) d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = \cos (x)$ 。

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \sin (x) (2 x) d x)$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \sin (x) (x) d x))$

解题步骤 4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \sin (x) (x) d x)$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (x)$ 。

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x))]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \cos (x) d x))$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x))]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} \cos (x) d x))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x))]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} \cos (x) d x))$

解题步骤 7.2

将 $\int_{0}^{1} \cos (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x))]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \cos (x) d x))$

解题步骤 8

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x))]_{0}^{1} + \sin (x)]_{0}^{1}))$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

组合 $x (- \cos (x))]_{0}^{1}$ 和 $\sin (x)]_{0}^{1}$ 。

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{1}))$

解题步骤 9.2

代入并化简。

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解题步骤 9.2.1

计算 $x^{2} \sin (x)$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 ((1^{2} \sin (1)) - 0^{2} \sin (0) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{1}))$

解题步骤 9.2.2

计算 $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 ((1^{2} \sin (1)) - 0^{2} \sin (0) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

解题步骤 9.2.3

化简。

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解题步骤 9.2.3.1

一的任意次幂都为一。

$2 (1 \sin (1) - 0^{2} \sin (0) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

解题步骤 9.2.3.2

将 $\sin (1)$ 乘以 $1$ 。

$2 (\sin (1) - 0^{2} \sin (0) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

解题步骤 9.2.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$2 (\sin (1) - 0 \sin (0) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

解题步骤 9.2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 (\sin (1) + 0 \sin (0) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

解题步骤 9.2.3.5

将 $0$ 乘以 $\sin (0)$ 。

$2 (\sin (1) + 0 - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

解题步骤 9.2.3.6

将 $\sin (1)$ 和 $0$ 相加。

$2 (\sin (1) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

解题步骤 9.2.3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

解题步骤 9.2.3.8

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) - (0 \cos (0) + \sin (0))))$

解题步骤 9.2.3.9

将 $0$ 乘以 $\cos (0)$ 。

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) - (0 + \sin (0))))$

解题步骤 9.2.3.10

将 $0$ 和 $\sin (0)$ 相加。

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) - \sin (0)))$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) - 0))$

解题步骤 9.3.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) + 0))$

解题步骤 9.3.3

将 $- \cos (1) + \sin (1)$ 和 $0$ 相加。

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1)))$

解题步骤 9.4

化简。

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解题步骤 9.4.1

计算 $\cos (1)$ 。

$2 (\sin (1) - 2 (- 1 \cdot 0.5403023 + \sin (1)))$

解题步骤 9.4.2

将 $- 1$ 乘以 $0.5403023$ 。

$2 (\sin (1) - 2 (- 0.5403023 + \sin (1)))$

解题步骤 9.4.3

计算 $\sin (1)$ 。

$2 (\sin (1) - 2 (- 0.5403023 + 0.84147098))$

解题步骤 9.4.4

将 $- 0.5403023$ 和 $0.84147098$ 相加。

$2 (\sin (1) - 2 \cdot 0.30116867)$

解题步骤 9.4.5

将 $- 2$ 乘以 $0.30116867$ 。

$2 (\sin (1) - 0.60233735)$

解题步骤 9.4.6

计算 $\sin (1)$ 。

$2 (0.84147098 - 0.60233735)$

解题步骤 9.4.7

从 $0.84147098$ 中减去 $0.60233735$ 。

$2 \cdot 0.23913362$

解题步骤 9.4.8

将 $2$ 乘以 $0.23913362$ 。

$0.47826725$

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