微积分学示例

$3 x^{2} \sqrt{5 x + 3}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 x + 3}$ 重写成 ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 5 x + 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x + 3$ 。

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3

使用 $5 x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 8

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$3 (x^{2} (\frac{{(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$3 (x^{2} (\frac{1}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{1}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3] + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 9

根据加法法则， $5 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 10

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 12

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 13

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 14

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5 + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 14.2

组合 $\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $5$ 。

$3 (\frac{x^{2} \cdot 5}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 14.3

将 $5$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$3 (\frac{5 \cdot x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

解题步骤 16

将 $2$ 移到 ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} x)$

解题步骤 17

用公分母合并 $\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.1

移动 ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 17.2

要将 $2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 17.3

组合 $2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 17.4

在公分母上合并分子。

$3 \frac{5 x^{2} + 2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19

通过指数相加将 ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 19.1

移动 ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.3

在公分母上合并分子。

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{1}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20

化简 $4 x {(5 x + 3)}^{1}$ 。

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x (5 x + 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 21

组合 $3$ 和 $\frac{5 x^{2} + 4 x (5 x + 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3 (5 x^{2} + 4 x (5 x + 3))}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 22.1

运用分配律。

$\frac{3 (5 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.2

运用分配律。

$\frac{3 (5 x^{2}) + 3 (4 x (5 x)) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 22.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 22.3.1.1

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{15 x^{2} + 3 (4 x (5 x)) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 22.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{15 x^{2} + 3 (4 (x \cdot x) \cdot 5) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{15 x^{2} + 3 (4 x^{2} \cdot 5) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.3.1.3

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{15 x^{2} + 3 (20 x^{2}) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.3.1.4

将 $20$ 乘以 $3$ 。

$\frac{15 x^{2} + 60 x^{2} + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.3.1.5

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{15 x^{2} + 60 x^{2} + 3 (12 x)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.3.1.6

将 $12$ 乘以 $3$ 。

$\frac{15 x^{2} + 60 x^{2} + 36 x}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.3.2

将 $15 x^{2}$ 和 $60 x^{2}$ 相加。

$\frac{75 x^{2} + 36 x}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.4

从 $75 x^{2} + 36 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 22.4.1

从 $75 x^{2}$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{3 x (25 x) + 36 x}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.4.2

从 $36 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{3 x (25 x) + 3 x (12)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.4.3

从 $3 x (25 x) + 3 x (12)$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{3 x (25 x + 12)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

微积分学示例