微积分学示例

$\int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} - 2 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 1

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$- 2 \int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 2

使 $u = \csc (x)$ 。然后使 $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \csc (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\csc (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

解题步骤 2.1.2

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$- \csc (x) \cot (x)$

解题步骤 2.1.3

重新排序 $- \csc (x) \cot (x)$ 的因式。

$- \cot (x) \csc (x)$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = \csc (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \csc (- \frac{π}{2})$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$u_{lower} = \csc (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 2.3.2

通过在第一象限中求出具有同样三角函数值的角来应用参考角。将表达式变为负，因为余割在第四象限为负。

$u_{lower} = - \csc (\frac{π}{2})$

解题步骤 2.3.3

$\csc (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = - 1$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = \csc (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \csc (- \frac{π}{4})$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$u_{upper} = \csc (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 2.5.2

通过在第一象限中求出具有同样三角函数值的角来应用参考角。将表达式变为负，因为余割在第四象限为负。

$u_{upper} = - \csc (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.5.3

$\csc (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\sqrt{2}$ 。

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - 1 u d u$

解题步骤 3

将 $- 1 u$ 重写为 $- u$ 。

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - u d u$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- 2 (- \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u)$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u^{2}$ 。

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $\frac{u^{2}}{2}$ 在 $- \sqrt{2}$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$2 ((\frac{{(- \sqrt{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

从 $- \sqrt{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 (\frac{{(- (\sqrt{2}))}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.2

对 $- (\sqrt{2})$ 运用乘积法则。

$2 (\frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 (\frac{1 {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 8.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 (\frac{1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.4.4.1

约去公因数。

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.4.2

重写表达式。

$2 (\frac{1 \cdot 2^{1}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.5

计算指数。

$2 (\frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.6.1

约去公因数。

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.6.2

重写表达式。

$2 (1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 (1 - \frac{1}{2})$

解题步骤 8.2.8

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 8.2.9

在公分母上合并分子。

$2 \frac{2 - 1}{2}$

解题步骤 8.2.10

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$2 (\frac{1}{2})$

解题步骤 8.2.11

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{2}$

解题步骤 8.2.12

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.12.1

约去公因数。

$\frac{2}{2}$

解题步骤 8.2.12.2

重写表达式。

$1$

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