微积分学示例

$\sqrt{x} + \frac{1}{x}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{x} + \frac{1}{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sqrt{x} + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \sqrt{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \ln (| x |) + C$

解题步骤 8

化简。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \ln (| x |) + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \ln (| x |) + C$

微积分学 示例