微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sqrt{1 + \sin (x)} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 + \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 + \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + \sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$0 + \cos (x)$

解题步骤 1.1.4

将 $0$ 和 $\cos (x)$ 相加。

$\cos (x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 + \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 + \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $2^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.2

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $2$ 乘以 $2^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.2.4

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

解题步骤 4.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

解题步骤 4.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

小数形式：

$1.21895141 \dots$

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