微积分学示例

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2} + x^{2}}]$ 。

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2} + x^{2}}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{1}{y^{2} + x^{2}}$ 重写为 ${(y^{2} + x^{2})}^{- 1}$ 。

$y \frac{d}{d x} [{(y^{2} + x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = y^{2} + x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y^{2} + x^{2}$ 。

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

解题步骤 2.3

使用 $y^{2} + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $y^{2} + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

解题步骤 3.2

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (2 x))$

解题步骤 3.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y (- 2 {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$y (- 2 \frac{1}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ 。

$y (\frac{- 2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

解题步骤 4.2.2

将负号移到分数的前面。

$y (- \frac{2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

解题步骤 4.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ 。

$y (- \frac{x \cdot 2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}})$

解题步骤 4.2.4

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$y (- \frac{2 \cdot x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}})$

解题步骤 4.2.5

组合 $y$ 和 $\frac{2 x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ 。

$- \frac{y (2 x)}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.2.6

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$- \frac{2 y x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

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