微积分学示例

$lim_{x \to - 2} \frac{3 \cos (x + 2) + x}{4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 \cos (x + 2) + x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 \cos (x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

解题步骤 3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to - 2} \cos (x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

解题步骤 4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

解题步骤 6

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

解题步骤 8

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 lim_{x \to - 2} \ln (- 3 - 2 x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

解题步骤 9

将极限移入对数中。

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (lim_{x \to - 2} - 3 - 2 x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

解题步骤 10

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (- lim_{x \to - 2} 3 - lim_{x \to - 2} 2 x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

解题步骤 11

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (- 1 \cdot 3 - lim_{x \to - 2} 2 x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

解题步骤 12

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (- 3 - 2 lim_{x \to - 2} x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

解题步骤 13

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (- 3 - 2 lim_{x \to - 2} x) + {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

解题步骤 14

将 $- 2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 14.1

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cos (- 2 + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (- 3 - 2 lim_{x \to - 2} x) + {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

解题步骤 14.2

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cos (- 2 + 2) - 2}{4 \ln (- 3 - 2 lim_{x \to - 2} x) + {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

解题步骤 14.3

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cos (- 2 + 2) - 2}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

解题步骤 14.4

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cos (- 2 + 2) - 2}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 15

化简答案。

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解题步骤 15.1

化简分子。

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解题步骤 15.1.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 \cos (0) - 2}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 15.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{3 \cdot 1 - 2}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 15.1.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 - 2}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 15.1.4

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 15.2

化简分母。

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解题步骤 15.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{4 \ln (- 3 + 4) + {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 15.2.2

将 $- 3$ 和 $4$ 相加。

$\frac{1}{4 \ln (1) + {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 15.2.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{1}{4 \cdot 0 + {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 15.2.4

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{0 + {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 15.2.5

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{0 - 8}$

解题步骤 15.2.6

从 $0$ 中减去 $8$ 。

$\frac{1}{- 8}$

解题步骤 15.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{8}$

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