微积分学示例

$x - x^{2} \cos (x)$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x - x^{2} \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2} \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$1 - (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$1 - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$1 - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x))$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$1 - (x^{2} (- \sin (x))) - (\cos (x) (2 x))$

解题步骤 3.2

合并项。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 1 (x^{2} (\sin (x))) - (\cos (x) (2 x))$

解题步骤 3.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$1 + x^{2} \sin (x) - (\cos (x) (2 x))$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + x^{2} \sin (x) - 2 \cos (x) x$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$x^{2} \sin (x) - 2 x \cos (x) + 1$

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