微积分学示例

$y = \sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π)$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

解题步骤 3.2.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

解题步骤 3.2.1.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

解题步骤 3.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (4 x) (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

解题步骤 3.2.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\cos (4 x) \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

解题步骤 3.2.5

将 $4$ 移到 $\cos (4 x)$ 的左侧。

$4 \cos (4 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 \cos (4 x) - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 \cos (4 x) - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$4 \cos (4 x) - 16 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [9 x]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π]$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π]$

解题步骤 3.4.3

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 + \frac{d}{d x} [π]$

解题步骤 3.5

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 + 0$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

将 $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ 和 $0$ 相加。

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9$

解题步骤 3.6.2

重新排序项。

$- 16 x + 9 + 4 \cos (4 x)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - 16 x + 9 + 4 \cos (4 x)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - 16 x + 9 + 4 \cos (4 x)$

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