微积分学示例

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{5} + 1}{x + x^{3}}$

解题步骤 1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x^{5}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

约去 $x^{5}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1

从 $4 x^{5}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{3} (4 x^{2})}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{3} (4 x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{3} (4 x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.4

用 $4 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

约去 $x$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{1}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.1.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 1}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.1.3

约去公因数。

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解题步骤 2.2.1.3.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.1.3.2

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.1.3.3

重写表达式。

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.2

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.2.2

重写表达式。

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} + 1}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + 0}{\frac{1}{x^{2}} + 1}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + 0}{0 + 1}$

解题步骤 5

因为当其分母趋于一个常数时其分子无限大，所以分式 $\frac{4 x^{2} + 0}{0 + 1}$ 趋于无穷大。

$\infty$

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