微积分学示例

$y = x + \frac{1}{4 x}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x + \frac{1}{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$1 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$1 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$1 + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

解题步骤 1.2.4

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{- 2}$ 。

$1 - \frac{x^{- 2}}{4}$

解题步骤 1.2.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$1 - \frac{1}{4 x^{2}}$

解题步骤 1.3

重新排序项。

$- \frac{1}{4 x^{2}} + 1$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- \frac{1}{4 x^{2}} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{4 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- \frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{4 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.10

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{4}) \cdot x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.11

组合 $2$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{4} x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.12

组合 $\frac{2}{4}$ 和 $x^{- 3}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{- 3}}{4} + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{2}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.14

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.14.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (1)}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.14.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.14.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.14.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.14.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{1}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2 x^{3}} + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{2 x^{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{1}{2 x^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{1}{4 x^{2}} + 1 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x + \frac{1}{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$1 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 4.1.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$1 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 4.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$1 + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

解题步骤 4.1.2.4

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{- 2}$ 。

$1 - \frac{x^{- 2}}{4}$

解题步骤 4.1.2.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$1 - \frac{1}{4 x^{2}}$

解题步骤 4.1.3

重新排序项。

$f' (x) = - \frac{1}{4 x^{2}} + 1$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{1}{4 x^{2}} + 1$ 。

$- \frac{1}{4 x^{2}} + 1$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{1}{4 x^{2}} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{1}{4 x^{2}} + 1 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \frac{1}{4 x^{2}} = - 1$

解题步骤 5.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$4 x^{2}, 1$

解题步骤 5.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$4 x^{2}$

解题步骤 5.4

将 $- \frac{1}{4 x^{2}} = - 1$ 中的每一项乘以 $4 x^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 5.4.1

将 $- \frac{1}{4 x^{2}} = - 1$ 中的每一项乘以 $4 x^{2}$ 。

$- \frac{1}{4 x^{2}} (4 x^{2}) = - (4 x^{2})$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $4 x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

将 $- \frac{1}{4 x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{4 x^{2}} (4 x^{2}) = - (4 x^{2})$

解题步骤 5.4.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{4 x^{2}} (4 x^{2}) = - (4 x^{2})$

解题步骤 5.4.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = - (4 x^{2})$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 1 = - 4 x^{2}$

解题步骤 5.5

求解方程。

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解题步骤 5.5.1

将方程重写为 $- 4 x^{2} = - 1$ 。

$- 4 x^{2} = - 1$

解题步骤 5.5.2

将 $- 4 x^{2} = - 1$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.1

将 $- 4 x^{2} = - 1$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 5.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 5.5.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 5.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x^{2} = \frac{1}{4}$

解题步骤 5.5.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

解题步骤 5.5.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 5.5.4.1

将 $\sqrt{\frac{1}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 5.5.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

解题步骤 5.5.4.3

化简分母。

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解题步骤 5.5.4.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 5.5.4.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{1}{2}$

解题步骤 5.5.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.5.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.5.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.5.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{4 x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$4 x^{2} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

将 $4 x^{2} = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $4 x^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 6.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 6.2.1.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{0}{4}$

解题步骤 6.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 6.2.3

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 6.2.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 6.2.3.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{1}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{1}{2 {(\frac{1}{2})}^{3}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分母。

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解题步骤 9.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 重写为 $2^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2 {(2^{- 1})}^{3}}$

解题步骤 9.1.2

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2 {({(2^{1})}^{- 1})}^{3}}$

解题步骤 9.1.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2 {(2^{1 \cdot - 1})}^{3}}$

解题步骤 9.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(2^{- 1})}^{3}}$

解题步骤 9.1.5

将 ${(2^{- 1})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.1.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- 1 \cdot 3}}$

解题步骤 9.1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- 3}}$

解题步骤 9.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2^{1 - 3}}$

解题步骤 9.1.7

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{2^{- 2}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{\frac{1}{2^{2}}}$

解题步骤 9.2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{1}{4}}$

解题步骤 9.3

将分子乘以分母的倒数。

$1 \cdot 4$

解题步骤 9.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{1}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{1}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = \frac{1}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}) + \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{4}{2}}$

解题步骤 11.2.1.2

用 $4$ 除以 $2$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 11.2.2

合并分数。

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解题步骤 11.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 + 1}{2}$

解题步骤 11.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 11.2.2.2.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2}$

解题步骤 11.2.2.2.2

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f (\frac{1}{2}) = 1$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 12

计算在 $x = - \frac{1}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{1}{2 {(- \frac{1}{2})}^{3}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简分母。

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解题步骤 13.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{2 {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}}$

解题步骤 13.1.2

合并指数。

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解题步骤 13.1.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 重写为 $2^{- 1}$ 。

$\frac{1}{{(2^{- 1})}^{3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.2.2

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{({(2^{1})}^{- 1})}^{3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.2.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{{(2^{1 \cdot - 1})}^{3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{{(2^{- 1})}^{3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.2.5

将 ${(2^{- 1})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 13.1.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2^{- 1 \cdot 3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.2.5.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2^{- 3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2^{- 3 + 1} {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.2.7

将 $- 3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2^{- 2} {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{\frac{1}{2^{2}} {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{1}{4} {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.5

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{1}{4} \cdot - 1}$

解题步骤 13.2

化简项。

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解题步骤 13.2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{\frac{- 1}{4}}$

解题步骤 13.2.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{- \frac{1}{4}}$

解题步骤 13.2.3

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.3.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{4}}$

解题步骤 13.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{\frac{1}{4}}$

解题步骤 13.3

将分子乘以分母的倒数。

$- (1 \cdot 4)$

解题步骤 13.4

乘以 $- (1 \cdot 4)$ 。

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解题步骤 13.4.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \cdot 4$

解题步骤 13.4.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - \frac{1}{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{1}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - \frac{1}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- \frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{4 (- \frac{1}{2})}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot - 1}{4 (- \frac{1}{2})}$

解题步骤 15.2.1.1.2

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 15.2.1.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

解题步骤 15.2.1.3

用 $4$ 除以 $2$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 15.2.2

合并分数。

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解题步骤 15.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 - 1}{2}$

解题步骤 15.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 15.2.2.2.1

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{2}$

解题步骤 15.2.2.2.2

用 $- 2$ 除以 $2$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = - 1$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = x + \frac{1}{4 x}$ 的局部极值。

$(\frac{1}{2}, 1)$ 是一个局部最小值

$(- \frac{1}{2}, - 1)$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例