微积分学示例

$\tan (x) \sin (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$\tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\tan (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\tan (x) \cos (x) + \sin (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$\cos (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $\cos (x)$ 和 $\tan (x)$ 重新排序。

$\tan (x) \cos (x) + \sec^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 4.2.1.2

将 $\cos (x) \tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sec^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 4.2.1.3

约去公因数。

$\sin (x) + \sec^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 4.2.2

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sin (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x)$

解题步骤 4.2.3

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\sin (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

解题步骤 4.2.4

一的任意次幂都为一。

$\sin (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

解题步骤 4.2.5

组合 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 4.3.2

分离分数。

$\sin (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 4.3.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\sin (x) + \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

解题步骤 4.3.4

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\sin (x) + \sec (x) \tan (x)$

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