微积分学示例

$\int \frac{x^{2} - 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int \frac{x^{2} - 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 2

通过将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (x^{2} - 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

解题步骤 3

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x^{2} - 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\int (x^{2} - 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$\int (x^{2} - 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 4

展开 $(x^{2} - 1) x^{- \frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{2 - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 4.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\int x^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 4.4

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\int x^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\int x^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\int x^{\frac{6 - 1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 4.6.2

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$\int x^{\frac{5}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{\frac{5}{3}} d x + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{5}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ 。

$\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C - \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C - (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

解题步骤 9

化简。

$\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} - \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

微积分学 示例

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