微积分学示例

$y = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.2.1.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.2.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.2.5

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.2.6

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$- e^{- x} + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ 。

$- e^{- x} + 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- x}$ 。

$- e^{- x} + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$- e^{- x} + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- e^{- x} + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.3.8

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$- e^{- x} + 2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.3.9

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.3.10

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{- x}$ 。

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $- x$ 。

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.4.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 等于 $a^{u_{3}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.4.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.4.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)$

解题步骤 3.4.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)$

解题步骤 3.4.7

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

解题步骤 3.4.8

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

解题步骤 3.5.2

合并项。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- e^{- x} - 2 (x (e^{- x})) + 2 e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

解题步骤 3.5.2.2

将 $- e^{- x}$ 和 $2 e^{- x}$ 相加。

$- 2 x e^{- x} + e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

解题步骤 3.5.2.3

将 $- 2 x e^{- x}$ 和 $e^{- x} (2 x)$ 相加。

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解题步骤 3.5.2.3.1

移动 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) - 2 x e^{- x} + 2 x e^{- x}$

解题步骤 3.5.2.3.2

将 $- 2 x e^{- x}$ 和 $2 x e^{- x}$ 相加。

$e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + 0$

解题步骤 3.5.2.4

将 $e^{- x} + x^{2} (- e^{- x})$ 和 $0$ 相加。

$e^{- x} + x^{2} (- e^{- x})$

解题步骤 3.5.3

重新排序项。

$- e^{- x} x^{2} + e^{- x}$

解题步骤 3.5.4

将 $- e^{- x} x^{2} + e^{- x}$ 中的因式重新排序。

$- x^{2} e^{- x} + e^{- x}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - x^{2} e^{- x} + e^{- x}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} e^{- x} + e^{- x}$

微积分学 示例

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