微积分学示例

$\int_{1}^{2} x \sqrt{x^{2} - 1} d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2} - 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2} - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x^{2} - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1^{2} - 1$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

一的任意次幂都为一。

$u_{lower} = 1 - 1$

解题步骤 1.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x^{2} - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2^{2} - 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 4 - 1$

解题步骤 1.5.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 3$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{3} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{u} d u$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $3^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $3^{1}$ 移动到分子。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3

通过指数相加将 $3^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $3^{- 1}$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

移动 $3^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.6

化简分子。

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解题步骤 6.2.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.6.2

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.4

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.5

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

解题步骤 6.2.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.6.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

解题步骤 6.2.6.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 6.2.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

解题步骤 6.2.8

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0 (\frac{2}{3}))$

解题步骤 6.2.9

将 $0$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0)$

解题步骤 6.2.10

将 $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.11

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.12

组合 $\frac{2}{2}$ 和 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 6.2.13

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 6.2.14

用 $3^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$3^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$3^{\frac{1}{2}}$

小数形式：

$1.73205080 \dots$

解题步骤 8

微积分学 示例

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