微积分学示例

\int_{1}^{2} x \sqrt{x^{2} - 1} d x

$\int_{1}^{2} x \sqrt{x^{2} - 1} d x$

解题步骤 1

使

u = x^{2} - 1

$u = x^{2} - 1$ 。然后使

d u = 2 x d x

$d u = 2 x d x$ ，以便

\frac{1}{2} d u = x d x

$\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用

u

$u$ 和

d

$d$

u

$u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设

u = x^{2} - 1

$u = x^{2} - 1$ 。求

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$ 求导。

\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则，

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 2

$n = 2$ 。

2 x + \frac{d}{d x} [- 1]

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

因为

- 1

$- 1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

- 1

$- 1$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

2 x + 0

$2 x + 0$

解题步骤 1.1.5

将

2 x

$2 x$ 和

0

$0$ 相加。

2 x

$2 x$

2 x

$2 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换

u = x^{2} - 1

$u = x^{2} - 1$ 中的

x

$x$ 。

u_{lower} = 1^{2} - 1

$u_{lower} = 1^{2} - 1$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

一的任意次幂都为一。

u_{lower} = 1 - 1

$u_{lower} = 1 - 1$

解题步骤 1.3.2

从

1

$1$ 中减去

1

$1$ 。

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换

u = x^{2} - 1

$u = x^{2} - 1$ 中的

x

$x$ 。

u_{upper} = 2^{2} - 1

$u_{upper} = 2^{2} - 1$

解题步骤 1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

对

2

$2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

u_{upper} = 4 - 1

$u_{upper} = 4 - 1$

解题步骤 1.5.2

从

4

$4$ 中减去

1

$1$ 。

u_{upper} = 3

$u_{upper} = 3$

u_{upper} = 3

$u_{upper} = 3$

解题步骤 1.6

求得的

u_{lower}

$u_{lower}$ 和

u_{upper}

$u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = 3

$u_{upper} = 3$

解题步骤 1.7

使用

u

$u$ 、

d u

$d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

\int_{0}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u

$\int_{0}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

\int_{0}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u

$\int_{0}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ 和

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 。

\int_{0}^{3} \frac{\sqrt{u}}{2} d u

$\int_{0}^{3} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

解题步骤 3

由于

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 对于

u

$u$ 是常数，所以将

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 移到积分外。

\frac{1}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{u} d u

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{u} d u$

解题步骤 4

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ 重写成

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ 。

\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^{\frac{1}{2}} d u

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则，

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ 对

u

$u$ 的积分是

\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3}

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3}$

解题步骤 6

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

计算

\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在

3

$3$ 处和在

0

$0$ 处的值。

\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

组合

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ 和

3^{\frac{3}{2}}

$3^{\frac{3}{2}}$ 。

\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2

使用负指数规则

\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}

$\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将

3^{1}

$3^{1}$ 移动到分子。

\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3

通过指数相加将

3^{\frac{3}{2}}

$3^{\frac{3}{2}}$ 乘以

3^{- 1}

$3^{- 1}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.3.1

移动

3^{- 1}

$3^{- 1}$ 。

\frac{1}{2} (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{2} (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.2

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.3

要将

- 1

$- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ 。

\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.4

组合

- 1

$- 1$ 和

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ 。

\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.5

在公分母上合并分子。

\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.3.6.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

2

$2$ 。

\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.6.2

将

- 2

$- 2$ 和

3

$3$ 相加。

\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.4

将

0

$0$ 重写为

0^{2}

$0^{2}$ 。

\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.5

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

解题步骤 6.2.6

约去

2

$2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.6.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

解题步骤 6.2.6.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 6.2.7

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

解题步骤 6.2.8

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0 (\frac{2}{3}))$

解题步骤 6.2.9

将

$0$ 乘以

$\frac{2}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0)$

解题步骤 6.2.10

将

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ 和

$0$ 相加。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.11

组合

$2$ 和

$\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.12

组合

$\frac{2}{2}$ 和

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 6.2.13

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 6.2.14

用

$3^{\frac{1}{2}}$ 除以

$1$ 。

$3^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$3^{\frac{1}{2}}$

小数形式：

$1.73205080 \dots$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例