微积分学示例

$| x | + 2 | 1 - x |$

解题步骤 1

根据加法法则， $| x | + 2 | 1 - x |$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$ 。

$\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$

解题步骤 2

$| x |$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{x}{| x |}$ 。

$\frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 | 1 - x |$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$ 。

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = 1 - x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - x$ 。

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 3.2.2

$| u |$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{u}{| u |}$ 。

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 3.2.3

使用 $1 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - 1))$

解题步骤 3.8

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \cdot - 1)$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{(1 - x) \cdot - 1}{| 1 - x |}$

解题步骤 3.10

将 $- 1$ 移到 $1 - x$ 的左侧。

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{- 1 \cdot (1 - x)}{| 1 - x |}$

解题步骤 3.11

将 $- 1 (1 - x)$ 重写为 $- (1 - x)$ 。

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{- (1 - x)}{| 1 - x |}$

解题步骤 3.12

将负号移到分数的前面。

$\frac{x}{| x |} + 2 (- \frac{1 - x}{| 1 - x |})$

解题步骤 3.13

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x}{| x |} - 2 \frac{1 - x}{| 1 - x |}$

解题步骤 3.14

组合 $- 2$ 和 $\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ 。

$\frac{x}{| x |} + \frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

解题步骤 3.15

将负号移到分数的前面。

$\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

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