微积分学示例

$f (x) = 1 - \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 1 - \frac{1}{x^{4}} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d x + \int - \frac{1}{x^{4}} d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$x + C + \int - \frac{1}{x^{4}} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x + C - \int \frac{1}{x^{4}} d x$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

通过将 $x^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$x + C - \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

解题步骤 6.2

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x + C - \int x^{4 \cdot - 1} d x$

解题步骤 6.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$x + C - \int x^{- 4} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- 4}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 。

$x + C - (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $x^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$x + C - (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

解题步骤 8.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$x + C - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

解题步骤 8.2

化简。

$x + \frac{1}{3 x^{3}} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = 1 - \frac{1}{x^{4}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $x + \frac{1}{3 x^{3}} + C$

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