微积分学示例

$2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3} = y$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $y$ 。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 y y' + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 y y' + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$4 y y' + 0 - \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$4 y y' + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 y y' + 0 - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.4.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 y y' + 0 - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.4.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 y y' + 0 - (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.4.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$4 y y' + 0 - 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 y y' + 0 - 3 y^{2} y' + 3 x^{2}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

将 $4 y y'$ 和 $0$ 相加。

$4 y y' - 3 y^{2} y' + 3 x^{2}$

解题步骤 2.6.2

重新排序项。

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y'$

解题步骤 3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y' = y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $y'$ 。

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y' - y' = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $3 x^{2}$ 。

$4 y y' - 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.3

从 $4 y y' - 3 y^{2} y' - y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $4 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (4 y) - 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.3.2

从 $- 3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2}) - y' = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.3.3

从 $- y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.3.4

从 $y' (4 y) + y' (- 3 y^{2})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (4 y - 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.3.5

从 $y' (4 y - 3 y^{2}) + y' \cdot - 1$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (4 y - 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.4

使 $u = y$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $y$ 。

$y' (4 u - 3 u^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.5

分组因式分解。

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解题步骤 5.5.1

重新排序项。

$y' (- 3 u^{2} + 4 u - 1) = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.5.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 3 \cdot - 1 = 3$ 并且它们的和为 $b = 4$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

从 $4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$y' (- 3 u^{2} + 4 (u) - 1) = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.5.2.2

把 $4$ 重写为 $1$ 加 $3$

$y' (- 3 u^{2} + (1 + 3) u - 1) = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.5.2.3

运用分配律。

$y' (- 3 u^{2} + 1 u + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.5.2.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$y' (- 3 u^{2} + u + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.5.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.5.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$y' ((- 3 u^{2} + u) + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.5.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$y' (u (- 3 u + 1) - (- 3 u + 1)) = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.5.4

通过因式分解出最大公因数 $- 3 u + 1$ 来因式分解多项式。

$y' ((- 3 u + 1) (u - 1)) = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.6

因数。

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解题步骤 5.6.1

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y' ((- 3 y + 1) (y - 1)) = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.6.2

去掉多余的括号。

$y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.7

将 $y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ 中的每一项除以 $(- 3 y + 1) (y - 1)$ 并化简。

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解题步骤 5.7.1

将 $y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ 中的每一项都除以 $(- 3 y + 1) (y - 1)$ 。

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y - 1)}{(- 3 y + 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 5.7.2

化简左边。

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解题步骤 5.7.2.1

约去 $- 3 y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y - 1)}{(- 3 y + 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 5.7.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 5.7.2.2

约去 $y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 5.7.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 5.7.3

化简右边。

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解题步骤 5.7.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 5.7.3.2

从 $- 3 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- (3 y) + 1) (y - 1)}$

解题步骤 5.7.3.3

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- (3 y) - 1 (- 1)) (y - 1)}$

解题步骤 5.7.3.4

从 $- (3 y) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y - 1) (y - 1)}$

解题步骤 5.7.3.5

化简表达式。

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解题步骤 5.7.3.5.1

将 $- (3 y - 1)$ 重写为 $- 1 (3 y - 1)$ 。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- 1 (3 y - 1) (y - 1)}$

解题步骤 5.7.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

解题步骤 5.7.3.5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y' = 1 \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

解题步骤 5.7.3.5.4

将 $\frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

微积分学 示例

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