微积分学示例

$\int_{0}^{π} \sin (x) {(1 - \cos (x))}^{2} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 - \cos (x)$ 。然后使 $d u = \sin (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 - \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 - \cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$0 - - \sin (x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 1 \sin (x)$

解题步骤 1.1.3.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$0 + \sin (x)$

解题步骤 1.1.4

将 $0$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$\sin (x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 - \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 - \cos (0)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = 1 - 1$

解题步骤 1.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 - \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 - \cos (π)$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$u_{upper} = 1 - - \cos (0)$

解题步骤 1.5.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1 - (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.5.1.3

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 1.5.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 1 - - 1$

解题步骤 1.5.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{2} u^{2} d u$

解题步骤 2

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{2}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $\frac{1}{3} u^{3}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

解题步骤 3.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $8$ 。

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

解题步骤 3.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

解题步骤 3.2.4

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{8}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

解题步骤 3.2.5

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{8}{3} + 0$

解题步骤 3.2.6

将 $\frac{8}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{8}{3}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{8}{3}$

小数形式：

$2.\overline{6}$

带分数形式：

$2 \frac{2}{3}$

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