微积分学示例

$\int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{3 + x^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \sqrt{3} \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sec^{2} (t) \sqrt{3} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec^{2} (t) \sqrt{3}$ 为正数。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.1.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.1.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.1.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.1.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1.4.1

约去公因数。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.1.1.1.4.2

重写表达式。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3^{1} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.1.1.1.5

计算指数。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $\sqrt{3} \tan (t)$ 运用乘积法则。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + {\sqrt{3}}^{2} \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.1.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.1.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.1.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + 3^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.1.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.4.1

约去公因数。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + 3^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.1.1.3.4.2

重写表达式。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + 3^{1} \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.1.1.3.5

计算指数。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + 3 \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.1.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 (1) + 3 \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.1.3

从 $3 \tan^{2} (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 (1) + 3 (\tan^{2} (t))} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.1.4

从 $3 (1) + 3 (\tan^{2} (t))$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 (1 + \tan^{2} (t))} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.1.5

重新整理项。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 (\tan^{2} (t) + 1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.1.6

使用勾股恒等式。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 \sec^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.1.7

将 $3$ 和 $\sec^{2} (t)$ 重新排序。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{\sec^{2} (t) \cdot 3} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.1.8

从根式下提出各项。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} (\sec (t) \sqrt{3}) (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) \sqrt{3} \sqrt{3} d t$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} {\sec (t)}^{2 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3} d t$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) \sqrt{3} \sqrt{3} d t$

解题步骤 2.2.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) d t$

解题步骤 2.2.5

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) d t$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) {\sqrt{3}}^{1 + 1} d t$

解题步骤 2.2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) {\sqrt{3}}^{2} d t$

解题步骤 2.2.8

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.2.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

解题步骤 2.2.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

解题步骤 2.2.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) \cdot 3^{\frac{2}{2}} d t$

解题步骤 2.2.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.8.4.1

约去公因数。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) \cdot 3^{\frac{2}{2}} d t$

解题步骤 2.2.8.4.2

重写表达式。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) \cdot 3^{1} d t$

解题步骤 2.2.8.5

计算指数。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) \cdot 3 d t$

解题步骤 2.2.9

将 $3$ 移到 ${(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t)$ 的左侧。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 3 {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 3

由于 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

对 $\sqrt{3} \tan (t)$ 运用乘积法则。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{6}} {\sqrt{3}}^{3} \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sqrt{3^{3}} \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 4.2.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sqrt{27} \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 5

由于 $\sqrt{27}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\sqrt{27}$ 移到积分外。

$3 (\sqrt{27} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 6

因式分解出 $\tan^{2} (t)$ 。

$3 \sqrt{27} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 7

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$3 \sqrt{27} \int_{0}^{\frac{π}{6}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 8

使 $u = \sec (t)$ 。然后使 $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ ，以便 $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = \sec (t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $\sec (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

解题步骤 8.1.2

$\sec (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\sec (t) \tan (t)$ 。

$\sec (t) \tan (t)$

解题步骤 8.2

将下限代入替换 $u = \sec (t)$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = \sec (0)$

解题步骤 8.3

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 8.4

将上限代入替换 $u = \sec (t)$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{6})$

解题步骤 8.5

化简。

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解题步骤 8.5.1

$\sec (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 。

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

解题步骤 8.5.2

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 8.5.3

合并和化简分母。

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解题步骤 8.5.3.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 8.5.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 8.5.3.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 8.5.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.5.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 8.5.3.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 8.5.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.5.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.5.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.5.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.5.3.6.4.1

约去公因数。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.5.3.6.4.2

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 8.5.3.6.5

计算指数。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 8.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 8.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$3 \sqrt{27} \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

解题步骤 9

乘以 $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ 。

$3 \sqrt{27} \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将 $- 1 u^{2}$ 重写为 $- u^{2}$ 。

$3 \sqrt{27} \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 10.2

通过指数相加将 $u^{2}$ 乘以 $u^{2}$ 。

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解题步骤 10.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 \sqrt{27} \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

解题步骤 10.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$3 \sqrt{27} \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} - u^{2} + u^{4} d u$

解题步骤 11

将单个积分拆分为多个积分。

$3 \sqrt{27} (\int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} - u^{2} d u + \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} u^{4} d u)$

解题步骤 12

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 \sqrt{27} (- \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} u^{2} d u + \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} u^{4} d u)$

解题步骤 13

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$3 \sqrt{27} (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}) + \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} u^{4} d u)$

解题步骤 14

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$3 \sqrt{27} (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}) + \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} u^{4} d u)$

解题步骤 15

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$3 \sqrt{27} (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}) + \frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

解题步骤 16

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $u^{5}$ 。

$3 \sqrt{27} (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

解题步骤 17

代入并化简。

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解题步骤 17.1

计算 $\frac{u^{3}}{3}$ 在 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 处和在 $1$ 处的值。

$3 \sqrt{27} (- ((\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

解题步骤 17.2

计算 $\frac{u^{5}}{5}$ 在 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 处和在 $1$ 处的值。

$3 \sqrt{27} (- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

解题步骤 17.3

化简。

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解题步骤 17.3.1

一的任意次幂都为一。

$3 \sqrt{27} (- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

解题步骤 17.3.2

一的任意次幂都为一。

$3 \sqrt{27} (- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

解题步骤 17.3.3

要将 $- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$3 \sqrt{27} (- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot \frac{5}{5} + \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

解题步骤 17.3.4

组合 $- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$3 \sqrt{27} (\frac{- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 5}{5} + \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

解题步骤 17.3.5

在公分母上合并分子。

$3 \sqrt{27} (\frac{- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 5 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

解题步骤 17.3.6

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$3 \sqrt{27} (\frac{- 5 (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 18.1.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$3 \sqrt{9 (3)} (\frac{- 5 (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

解题步骤 18.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$3 \sqrt{3^{2} \cdot 3} (\frac{- 5 (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

解题步骤 18.2

从根式下提出各项。

$3 (3 \sqrt{3}) (\frac{- 5 (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

解题步骤 18.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 \sqrt{3} (\frac{- 5 (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

解题步骤 19

化简。

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解题步骤 19.1

在公分母上合并分子。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 19.2.1.1.1

对 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{{(2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.1.1.2

化简分子。

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解题步骤 19.2.1.1.2.1

对 $2 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.1.1.2.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.1.1.2.3

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.1.1.2.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 \sqrt{27}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.1.1.2.5

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 19.2.1.1.2.5.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.1.1.2.5.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.1.1.2.6

从根式下提出各项。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 \cdot 3 \sqrt{3}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.1.1.2.7

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{24 \sqrt{3}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.1.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{24 \sqrt{3}}{27}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.1.1.4

约去 $24$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.1.4.1

从 $24 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{3 (8 \sqrt{3})}{27}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.1.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.1.4.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 (9)}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.1.1.4.2.2

约去公因数。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 \cdot 9}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.1.1.4.2.3

重写表达式。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 \sqrt{3}}{9}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{8 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.1.3

乘以 $\frac{8 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 19.2.1.3.1

将 $\frac{8 \sqrt{3}}{9}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{8 \sqrt{3}}{9 \cdot 3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.1.3.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{8 \sqrt{3}}{27} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.2

运用分配律。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 \frac{8 \sqrt{3}}{27} - 5 (- \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.3

乘以 $- 5 \frac{8 \sqrt{3}}{27}$ 。

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解题步骤 19.2.3.1

组合 $- 5$ 和 $\frac{8 \sqrt{3}}{27}$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 5 (8 \sqrt{3})}{27} - 5 (- \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.3.2

将 $8$ 乘以 $- 5$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 40 \sqrt{3}}{27} - 5 (- \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.4

乘以 $- 5 (- \frac{1}{3})$ 。

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解题步骤 19.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 40 \sqrt{3}}{27} + 5 (\frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.4.2

组合 $5$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.5

将负号移到分数的前面。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.6

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 19.2.6.1

对 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{{(2 \sqrt{3})}^{5}}{3^{5}} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.6.2

对 $2 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{2^{5} {\sqrt{3}}^{5}}{3^{5}} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.7

化简分子。

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解题步骤 19.2.7.1

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 {\sqrt{3}}^{5}}{3^{5}} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.7.2

将 ${\sqrt{3}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{3^{5}}$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 \sqrt{3^{5}}}{3^{5}} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.7.3

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 \sqrt{243}}{3^{5}} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.7.4

将 $243$ 重写为 $9^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 19.2.7.4.1

从 $243$ 中分解出因数 $81$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 \sqrt{81 (3)}}{3^{5}} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.7.4.2

将 $81$ 重写为 $9^{2}$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 \sqrt{9^{2} \cdot 3}}{3^{5}} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.7.5

从根式下提出各项。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 \cdot 9 \sqrt{3}}{3^{5}} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.7.6

将 $32$ 乘以 $9$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{288 \sqrt{3}}{3^{5}} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.8

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{288 \sqrt{3}}{243} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.9

约去 $288$ 和 $243$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.9.1

从 $288 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $9$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{9 (32 \sqrt{3})}{243} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 19.2.9.2.1

从 $243$ 中分解出因数 $9$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{9 (32 \sqrt{3})}{9 (27)} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.9.2.2

约去公因数。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{9 (32 \sqrt{3})}{9 \cdot 27} - 1}{5}$

解题步骤 19.2.9.2.3

重写表达式。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 \sqrt{3}}{27} - 1}{5}$

解题步骤 19.3

在公分母上合并分子。

$9 \sqrt{3} \frac{- 1 + \frac{- 40 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3}}{5}$

解题步骤 19.4

将 $- 40 \sqrt{3}$ 和 $32 \sqrt{3}$ 相加。

$9 \sqrt{3} \frac{- 1 + \frac{- 8 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3}}{5}$

解题步骤 19.5

将负号移到分数的前面。

$9 \sqrt{3} \frac{- 1 - \frac{8 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3}}{5}$

解题步骤 19.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

解题步骤 19.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

解题步骤 19.8

在公分母上合并分子。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 1 \cdot 3 + 5}{3} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

解题步骤 19.9

化简分子。

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解题步骤 19.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 3 + 5}{3} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

解题步骤 19.9.2

将 $- 3$ 和 $5$ 相加。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{2}{3} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

解题步骤 19.10

化简分子。

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解题步骤 19.10.1

要将 $\frac{2}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

解题步骤 19.10.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $27$ 的形式。

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解题步骤 19.10.2.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

解题步骤 19.10.2.2

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{2 \cdot 9}{27} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

解题步骤 19.10.3

在公分母上合并分子。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{2 \cdot 9 - 8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

解题步骤 19.10.4

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{18 - 8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

解题步骤 19.11

将分子乘以分母的倒数。

$9 \sqrt{3} (\frac{18 - 8 \sqrt{3}}{27} \cdot \frac{1}{5})$

解题步骤 19.12

乘以 $\frac{18 - 8 \sqrt{3}}{27} \cdot \frac{1}{5}$ 。

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解题步骤 19.12.1

将 $\frac{18 - 8 \sqrt{3}}{27}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{18 - 8 \sqrt{3}}{27 \cdot 5}$

解题步骤 19.12.2

将 $27$ 乘以 $5$ 。

$9 \sqrt{3} \frac{18 - 8 \sqrt{3}}{135}$

解题步骤 19.13

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 19.13.1

从 $9 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $9$ 。

$9 (\sqrt{3}) \frac{18 - 8 \sqrt{3}}{135}$

解题步骤 19.13.2

从 $135$ 中分解出因数 $9$ 。

$9 (\sqrt{3}) \frac{18 - 8 \sqrt{3}}{9 (15)}$

解题步骤 19.13.3

约去公因数。

$9 \sqrt{3} \frac{18 - 8 \sqrt{3}}{9 \cdot 15}$

解题步骤 19.13.4

重写表达式。

$\sqrt{3} \frac{18 - 8 \sqrt{3}}{15}$

解题步骤 19.14

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{18 - 8 \sqrt{3}}{15}$ 。

$\frac{\sqrt{3} (18 - 8 \sqrt{3})}{15}$

解题步骤 19.15

运用分配律。

$\frac{\sqrt{3} \cdot 18 + \sqrt{3} (- 8 \sqrt{3})}{15}$

解题步骤 19.16

将 $18$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$\frac{18 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 8 \sqrt{3})}{15}$

解题步骤 19.17

乘以 $\sqrt{3} (- 8 \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 19.17.1

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{18 \cdot \sqrt{3} - 8 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{15}$

解题步骤 19.17.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{18 \cdot \sqrt{3} - 8 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{15}$

解题步骤 19.17.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{18 \cdot \sqrt{3} - 8 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{15}$

解题步骤 19.17.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{18 \cdot \sqrt{3} - 8 {\sqrt{3}}^{2}}{15}$

解题步骤 19.18

化简每一项。

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解题步骤 19.18.1

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 19.18.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{18 \sqrt{3} - 8 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{15}$

解题步骤 19.18.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{18 \sqrt{3} - 8 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{15}$

解题步骤 19.18.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{18 \sqrt{3} - 8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{15}$

解题步骤 19.18.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.18.1.4.1

约去公因数。

$\frac{18 \sqrt{3} - 8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{15}$

解题步骤 19.18.1.4.2

重写表达式。

$\frac{18 \sqrt{3} - 8 \cdot 3^{1}}{15}$

解题步骤 19.18.1.5

计算指数。

$\frac{18 \sqrt{3} - 8 \cdot 3}{15}$

解题步骤 19.18.2

将 $- 8$ 乘以 $3$ 。

$\frac{18 \sqrt{3} - 24}{15}$

解题步骤 19.19

约去 $18 \sqrt{3} - 24$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 19.19.1

从 $18 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (6 \sqrt{3}) - 24}{15}$

解题步骤 19.19.2

从 $- 24$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (6 \sqrt{3}) + 3 (- 8)}{15}$

解题步骤 19.19.3

从 $3 (6 \sqrt{3}) + 3 (- 8)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (6 \sqrt{3} - 8)}{15}$

解题步骤 19.19.4

约去公因数。

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解题步骤 19.19.4.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (6 \sqrt{3} - 8)}{3 (5)}$

解题步骤 19.19.4.2

约去公因数。

$\frac{3 (6 \sqrt{3} - 8)}{3 \cdot 5}$

解题步骤 19.19.4.3

重写表达式。

$\frac{6 \sqrt{3} - 8}{5}$

解题步骤 20

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{6 \sqrt{3} - 8}{5}$

小数形式：

$0.47846096 \dots$

解题步骤 21

微积分学 示例

微积分学示例