微积分学示例

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} (h - \frac{4 h}{b^{2}} x^{2}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} h - \frac{4 h}{b^{2}} \cdot x^{2} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{4 h}{b^{2}}$ 。

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} h - \frac{x^{2} (4 h)}{b^{2}} d x$

解题步骤 2.2

将 $4$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} h - \frac{4 x^{2} h}{b^{2}} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} h d x + \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 x^{2} h}{b^{2}} d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} + \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 x^{2} h}{b^{2}} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \frac{4 x^{2} h}{b^{2}} d x$

解题步骤 6

由于 $\frac{4 h}{b^{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{4 h}{b^{2}}$ 移到积分外。

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - (\frac{4 h}{b^{2}} \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} x^{2} d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 h}{b^{2}} \frac{1}{3} x^{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 h}{b^{2}} \frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$

解题步骤 8.1.2

组合 $\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$ 和 $\frac{4 h}{b^{2}}$ 。

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} (4 h)}{b^{2}}$

解题步骤 8.1.3

将 $4$ 移到 $\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$ 的左侧。

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}) h}{b^{2}}$

解题步骤 8.2

代入并化简。

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解题步骤 8.2.1

计算 $h x$ 在 $\frac{b}{2}$ 处和在 $- \frac{b}{2}$ 处的值。

$(h \frac{b}{2}) - h (- \frac{b}{2}) - \frac{4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}) h}{b^{2}}$

解题步骤 8.2.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $\frac{b}{2}$ 处和在 $- \frac{b}{2}$ 处的值。

$(h \frac{b}{2}) - h (- \frac{b}{2}) - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

解题步骤 8.2.3

化简。

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解题步骤 8.2.3.1

组合 $h$ 和 $\frac{b}{2}$ 。

$\frac{h b}{2} - h (- \frac{b}{2}) - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

解题步骤 8.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{h b}{2} + 1 h \frac{b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

解题步骤 8.2.3.3

将 $h$ 乘以 $1$ 。

$\frac{h b}{2} + h \frac{b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

解题步骤 8.2.3.4

组合 $h$ 和 $\frac{b}{2}$ 。

$\frac{h b}{2} + \frac{h b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

解题步骤 8.2.3.5

将 $\frac{h b}{2}$ 和 $\frac{h b}{2}$ 相加。

$2 \frac{h b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

解题步骤 8.2.3.6

组合 $2$ 和 $\frac{h b}{2}$ 。

$\frac{2 (h b)}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

解题步骤 8.2.3.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.7.1

约去公因数。

$\frac{2 h b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

解题步骤 8.2.3.7.2

用 $h b$ 除以 $1$ 。

$h b - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

解题步骤 8.2.3.8

从 $- \frac{b}{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} - \frac{{(- (\frac{b}{2}))}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

解题步骤 8.2.3.9

对 $- (\frac{b}{2})$ 运用乘积法则。

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

解题步骤 8.2.3.10

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} - \frac{- {(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

解题步骤 8.2.3.11

将负号移到分数的前面。

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} - - \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

解题步骤 8.2.3.12

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} + 1 \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

解题步骤 8.2.3.13

将 $\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} + \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

解题步骤 8.2.3.14

将 $\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}$ 和 $\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}$ 相加。

$h b - \frac{4 (2 \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

解题步骤 8.2.3.15

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$h b - \frac{8 \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} h}{b^{2}}$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$h b - \frac{8 (\frac{1}{3}) {(\frac{1}{2} b)}^{3} h}{b^{2}}$

解题步骤 9

化简每一项。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

组合 $8$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$h b - \frac{\frac{8}{3} {(\frac{1}{2} b)}^{3} h}{b^{2}}$

解题步骤 9.1.2

组合 $\frac{8}{3}$ 和 ${(\frac{1}{2} b)}^{3}$ 。

$h b - \frac{\frac{8 {(\frac{1}{2} b)}^{3}}{3} h}{b^{2}}$

解题步骤 9.1.3

组合 $\frac{8 {(\frac{1}{2} b)}^{3}}{3}$ 和 $h$ 。

$h b - \frac{\frac{8 {(\frac{1}{2} b)}^{3} h}{3}}{b^{2}}$

解题步骤 9.2

化简分子。

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解题步骤 9.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $b$ 。

$h b - \frac{\frac{8 {(\frac{b}{2})}^{3} h}{3}}{b^{2}}$

解题步骤 9.2.2

对 $\frac{b}{2}$ 运用乘积法则。

$h b - \frac{\frac{8 \frac{b^{3}}{2^{3}} h}{3}}{b^{2}}$

解题步骤 9.2.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$h b - \frac{\frac{8 \frac{b^{3}}{8} h}{3}}{b^{2}}$

解题步骤 9.2.4

合并指数。

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解题步骤 9.2.4.1

组合 $8$ 和 $\frac{b^{3}}{8}$ 。

$h b - \frac{\frac{\frac{8 b^{3}}{8} h}{3}}{b^{2}}$

解题步骤 9.2.4.2

组合 $\frac{8 b^{3}}{8}$ 和 $h$ 。

$h b - \frac{\frac{\frac{8 b^{3} h}{8}}{3}}{b^{2}}$

解题步骤 9.2.5

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 9.2.5.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{8 b^{3} h}{8}$ 。

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解题步骤 9.2.5.1.1

约去公因数。

$h b - \frac{\frac{\frac{8 b^{3} h}{8}}{3}}{b^{2}}$

解题步骤 9.2.5.1.2

重写表达式。

$h b - \frac{\frac{\frac{b^{3} h}{1}}{3}}{b^{2}}$

解题步骤 9.2.5.2

用 $b^{3} h$ 除以 $1$ 。

$h b - \frac{\frac{b^{3} h}{3}}{b^{2}}$

解题步骤 9.3

将分子乘以分母的倒数。

$h b - (\frac{b^{3} h}{3} \cdot \frac{1}{b^{2}})$

解题步骤 9.4

合并。

$h b - \frac{b^{3} h \cdot 1}{3 b^{2}}$

解题步骤 9.5

约去 $b^{3}$ 和 $b^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 9.5.1

从 $b^{3} h \cdot 1$ 中分解出因数 $b^{2}$ 。

$h b - \frac{b^{2} (b h \cdot 1)}{3 b^{2}}$

解题步骤 9.5.2

约去公因数。

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解题步骤 9.5.2.1

从 $3 b^{2}$ 中分解出因数 $b^{2}$ 。

$h b - \frac{b^{2} (b h \cdot 1)}{b^{2} \cdot 3}$

解题步骤 9.5.2.2

约去公因数。

$h b - \frac{b^{2} (b h \cdot 1)}{b^{2} \cdot 3}$

解题步骤 9.5.2.3

重写表达式。

$h b - \frac{b h \cdot 1}{3}$

解题步骤 9.6

将 $b$ 乘以 $1$ 。

$h b - \frac{b h}{3}$

微积分学 示例

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