微积分学示例

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{3 e^{2 x - 6} - x}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - 3 x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

解题步骤 1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

解题步骤 1.2.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

解题步骤 1.2.4

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3^{2} - 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

解题步骤 1.2.4.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3^{2} - 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

解题步骤 1.2.5

化简答案。

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解题步骤 1.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.5.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{9 - 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

解题步骤 1.2.5.1.2

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

解题步骤 1.2.5.2

从 $9$ 中减去 $9$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 1.3.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 lim_{x \to 3} e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 1.3.3

将极限移入指数中。

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to 3} 2 x - 6} - lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 1.3.4

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 1.3.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 1.3.6

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 1.3.7

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.3.7.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 1.3.7.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 3}$

解题步骤 1.3.8

化简答案。

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解题步骤 1.3.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.8.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.8.1.1.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{0}{3 e^{6 - 1 \cdot 6} - 3}$

解题步骤 1.3.8.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{0}{3 e^{6 - 6} - 3}$

解题步骤 1.3.8.1.2

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$\frac{0}{3 e^{0} - 3}$

解题步骤 1.3.8.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 3}$

解题步骤 1.3.8.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{3 - 3}$

解题步骤 1.3.8.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.8.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.9

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{3 e^{2 x - 6} - x} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x^{2} - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

解题步骤 3.4.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $3 e^{2 x - 6} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 3.6

计算 $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6}]$ 。

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解题步骤 3.6.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{2 x - 6}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 3.6.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x - 6$ 。

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解题步骤 3.6.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x - 6$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 3.6.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 3.6.2.3

使用 $2 x - 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 3.6.3

根据加法法则， $2 x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 3.6.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 3.6.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 3.6.6

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 3.6.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 3.6.8

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 3.6.9

将 $2$ 移到 $e^{2 x - 6}$ 的左侧。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (2 e^{2 x - 6}) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 3.6.10

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 3.7

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 3.7.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} - \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} - 1}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} 2 x - 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

解题步骤 6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

解题步骤 7

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} 1}$

解题步骤 9

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 lim_{x \to 3} e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} 1}$

解题步骤 10

将极限移入指数中。

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{lim_{x \to 3} 2 x - 6} - lim_{x \to 3} 1}$

解题步骤 11

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} 1}$

解题步骤 12

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} 1}$

解题步骤 13

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} 1}$

解题步骤 14

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 15

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 15.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 15.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 16

化简答案。

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解题步骤 16.1

化简分子。

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解题步骤 16.1.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 - 1 \cdot 3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 16.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 - 3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 16.1.3

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$\frac{3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 16.2

化简分母。

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解题步骤 16.2.1

化简每一项。

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解题步骤 16.2.1.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3}{6 e^{6 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 16.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{3}{6 e^{6 - 6} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 16.2.2

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$\frac{3}{6 e^{0} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 16.2.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{3}{6 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 16.2.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{6 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 16.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{6 - 1}$

解题步骤 16.2.6

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$\frac{3}{5}$

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