微积分学示例

$y = \frac{2 x + \cot (x)}{5 + e^{x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x + \cot (x)$ 且 $g (x) = 5 + e^{x}$ 。

$\frac{(5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [2 x + \cot (x)] - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x + \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ 。

$\frac{(5 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(5 + e^{x}) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(5 + e^{x}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(5 + e^{x}) (2 + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 3

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $5 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 相加。

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) + (- (2 x) - \cot (x)) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.3

化简分子。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x))$ 。

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解题步骤 6.3.1.1.1

运用分配律。

$\frac{5 (2 - \csc^{2} (x)) + e^{x} (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.1.2

运用分配律。

$\frac{5 \cdot 2 + 5 (- \csc^{2} (x)) + e^{x} (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.1.3

运用分配律。

$\frac{5 \cdot 2 + 5 (- \csc^{2} (x)) + e^{x} \cdot 2 + e^{x} (- \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.2.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{10 + 5 (- \csc^{2} (x)) + e^{x} \cdot 2 + e^{x} (- \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + e^{x} \cdot 2 + e^{x} (- \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2.3

将 $2$ 移到 $e^{x}$ 的左侧。

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 \cdot e^{x} + e^{x} (- \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 e^{x} - e^{x} \csc^{2} (x) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 e^{x} - e^{x} \csc^{2} (x) - 2 x e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.3.2

将 $10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 e^{x} - e^{x} \csc^{2} (x) - 2 x e^{x} - \cot (x) e^{x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 e^{x} - e^{x} \csc^{2} (x) - 2 x e^{x} - e^{x} \cot (x)}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4

重新排序项。

$\frac{- e^{x} \csc^{2} (x) - 2 e^{x} x - e^{x} \cot (x) + 2 e^{x} + 10 - 5 \csc^{2} (x)}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

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