微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 - \cos (x)$ 。然后使 $d u = \sin (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 - \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 - \cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$0 - - \sin (x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 1 \sin (x)$

解题步骤 1.1.3.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$0 + \sin (x)$

解题步骤 1.1.4

将 $0$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$\sin (x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 - \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 - \cos (0)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = 1 - 1$

解题步骤 1.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 - \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 - \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{upper} = 1 - 0$

解题步骤 1.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{upper} = 1 + 0$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |)]_{0}^{1}$

解题步骤 3

计算 $\ln (| u |)$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$\ln (| 1 |) - \ln (| 0 |)$

解题步骤 4

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 1 |}{| 0 |})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

解题步骤 5.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

解题步骤 6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

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