微积分学示例

$\int \frac{\sqrt{x} - x^{- 3}}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

化简分子。

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解题步骤 1.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\int \frac{\sqrt{x} - \frac{1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

解题步骤 1.1.2

要将 $\sqrt{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$\int \frac{\frac{\sqrt{x} x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

解题步骤 1.1.3

在公分母上合并分子。

$\int \frac{\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

解题步骤 1.2

将分子乘以分母的倒数。

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 1.3

乘以 $\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3} x^{2}} d x$

解题步骤 1.3.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3 + 2}} d x$

解题步骤 1.3.2.2

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{5}} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{3} - 1}{x^{5}} d x$

解题步骤 2.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + 3} - 1}{x^{5}} d x$

解题步骤 2.2.2

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

解题步骤 2.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

解题步骤 2.2.4

在公分母上合并分子。

$\int \frac{x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

解题步骤 2.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{x^{\frac{1 + 6}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

解题步骤 2.2.5.2

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$\int \frac{x^{\frac{7}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

通过将 $x^{5}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) {(x^{5})}^{- 1} d x$

解题步骤 3.2

将 ${(x^{5})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) x^{5 \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) x^{- 5} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int x^{\frac{7}{2}} x^{- 5} - 1 x^{- 5} d x$

解题步骤 4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{\frac{7}{2} - 5} - 1 x^{- 5} d x$

解题步骤 4.3

要将 $- 5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int x^{\frac{7}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

解题步骤 4.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int x^{\frac{7}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\int x^{\frac{7 - 5 \cdot 2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$\int x^{\frac{7 - 10}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

解题步骤 4.6.2

从 $7$ 中减去 $10$ 。

$\int x^{\frac{- 3}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

解题步骤 4.7

将 $x^{\frac{- 3}{2}}$ 和 $- 1 x^{- 5}$ 重新排序。

$\int - 1 x^{- 5} + x^{\frac{- 3}{2}} d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $- 1 x^{- 5}$ 重写为 $- x^{- 5}$ 。

$\int - x^{- 5} + x^{\frac{- 3}{2}} d x$

解题步骤 5.2

将负号移到分数的前面。

$\int - x^{- 5} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - x^{- 5} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int x^{- 5} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- 5}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ 。

$- (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $x^{- 4}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 9.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 4}$ 移动到分母。

$- (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{- \frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

解题步骤 11

化简。

$\frac{1}{4 x^{4}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

微积分学 示例

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