微积分学示例

$x - \ln (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.2.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$1 - \frac{1}{x}$

解题步骤 1.3

重新排序项。

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 1$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- \frac{1}{x} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.6

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.7

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $0$ 。

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.8

将 $x^{- 2}$ 和 $0$ 相加。

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{- 2} + 0$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

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