微积分学示例

$a e^{- a x}$

解题步骤 1

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a e^{- a x}$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [e^{- a x}]$ 。

$a \frac{d}{d x} [e^{- a x}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - a x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- a x$ 。

$a (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- a x])$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$a (e^{u} \frac{d}{d x} [- a x])$

解题步骤 2.3

使用 $- a x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$a (e^{- a x} \frac{d}{d x} [- a x])$

解题步骤 3

因为 $- a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- a x$ 对 $x$ 的导数是 $- a \frac{d}{d x} [x]$ 。

$a (e^{- a x} (- a \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$a^{1} a (e^{- a x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$a^{1} a^{1} (e^{- a x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$a^{1 + 1} (e^{- a x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$a^{2} (e^{- a x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$a^{2} (e^{- a x} (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 9

化简表达式。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$a^{2} (e^{- a x} \cdot - 1)$

解题步骤 9.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- a x}$ 的左侧。

$a^{2} (- 1 \cdot e^{- a x})$

解题步骤 9.3

将 $- 1 e^{- a x}$ 重写为 $- e^{- a x}$ 。

$a^{2} (- e^{- a x})$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

重新排序 $a^{2} (- e^{- a x})$ 的因式。

$- e^{- a x} a^{2}$

解题步骤 10.2

将 $- e^{- a x} a^{2}$ 中的因式重新排序。

$- a^{2} e^{- a x}$

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