微积分学示例

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x \sqrt{16 x^{2} - 5}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4}$ 为正数。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 {(\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t))}^{2} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{16 {(\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t))}^{2} - 5}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

组合 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ 和 $\sec (t)$ 。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 {(\frac{\sqrt{5} \sec (t)}{4})}^{2} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1.2.1

对 $\frac{\sqrt{5} \sec (t)}{4}$ 运用乘积法则。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{{(\sqrt{5} \sec (t))}^{2}}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.1.2.2

对 $\sqrt{5} \sec (t)$ 运用乘积法则。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{{\sqrt{5}}^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.1.3

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.4.1

约去公因数。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.1.3.4.2

重写表达式。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5^{1} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.1.3.5

计算指数。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5 \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.1.4

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5 \sec^{2} (t)}{16} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.1.5

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.5.1

约去公因数。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5 \sec^{2} (t)}{16} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.1.5.2

重写表达式。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 \sec^{2} (t) - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.2

从 $5 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 (\sec^{2} (t)) - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 \sec^{2} (t) + 5 \cdot - 1}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.4

从 $5 \sec^{2} (t) + 5 \cdot - 1$ 中分解出因数 $5$ 。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.6

将 $5$ 和 $\tan^{2} (t)$ 重新排序。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{\tan^{2} (t) \cdot 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.7

从根式下提出各项。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) (\tan (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ 和 $\sec (t)$ 。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5} \sec (t)}{4} (\tan (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.2

组合 $\tan (t)$ 和 $\frac{\sqrt{5} \sec (t)}{4}$ 。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (\sqrt{5} \sec (t))}{4} \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.3

组合 $\frac{\tan (t) (\sqrt{5} \sec (t))}{4}$ 和 $\sqrt{5}$ 。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (\sqrt{5} \sec (t)) \sqrt{5}}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.4

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.5

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{5}}^{1 + 1} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{5}}^{2} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.8

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.2.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5^{\frac{2}{2}} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.8.4.1

约去公因数。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5^{\frac{2}{2}} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.8.4.2

重写表达式。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5^{1} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.8.5

计算指数。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5 \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.9

将 $5$ 移到 $\tan (t)$ 的左侧。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{5 \cdot \tan (t) \sec (t)}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.10

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{5 \tan (t) \sec (t)}{4}$ 。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} 1 \frac{4}{5 \tan (t) \sec (t)} \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.11

将 $\frac{4}{5 \tan (t) \sec (t)}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4}{5 \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.12

将 $\frac{4}{5 \tan (t) \sec (t)}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4}$ 。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4 (\sqrt{5} \sec (t) \tan (t))}{5 \tan (t) \sec (t) \cdot 4} d t$

解题步骤 2.2.13

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4 (\sqrt{5} \sec (t) \tan (t))}{20 \tan (t) \sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.14

约去公因数。

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解题步骤 2.2.14.1

从 $20 \tan (t) \sec (t)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4 (\sqrt{5} \sec (t) \tan (t))}{4 (5 \tan (t) \sec (t))} d t$

解题步骤 2.2.14.2

约去公因数。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4 (\sqrt{5} \sec (t) \tan (t))}{4 (5 \tan (t) \sec (t))} d t$

解题步骤 2.2.14.3

重写表达式。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{5 \tan (t) \sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.15

约去 $\sec (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.15.1

约去公因数。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{5 \tan (t) \sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.15.2

重写表达式。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5} \tan (t)}{5 \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.16

约去 $\tan (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.16.1

约去公因数。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5} \tan (t)}{5 \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.16.2

重写表达式。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5}}{5} d t$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$\frac{\sqrt{5}}{5} t]_{0.97759655}^{1.4305831}$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $\frac{\sqrt{5}}{5} t$ 在 $1.4305831$ 处和在 $0.97759655$ 处的值。

$(\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 1.4305831) - \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0.97759655$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

组合 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 和 $1.4305831$ 。

$\frac{\sqrt{5} \cdot 1.4305831}{5} - \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0.97759655$

解题步骤 4.2.2

将 $\sqrt{5}$ 乘以 $1.4305831$ 。

$\frac{3.19888106}{5} - \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0.97759655$

解题步骤 4.2.3

将 $0.97759655$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3.19888106}{5} - 0.97759655 \frac{\sqrt{5}}{5}$

解题步骤 4.2.4

组合 $- 0.97759655$ 和 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 。

$\frac{3.19888106}{5} + \frac{- 0.97759655 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 4.2.5

将 $- 0.97759655$ 乘以 $\sqrt{5}$ 。

$\frac{3.19888106}{5} + \frac{- 2.18597234}{5}$

解题步骤 4.2.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{3.19888106}{5} - \frac{2.18597234}{5}$

解题步骤 4.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{3.19888106 - 2.18597234}{5}$

解题步骤 4.2.8

从 $3.19888106$ 中减去 $2.18597234$ 。

$\frac{1.01290872}{5}$

解题步骤 5

用 $1.01290872$ 除以 $5$ 。

$0.20258174$

解题步骤 6

微积分学 示例

微积分学示例