微积分学示例

$f (x) = - x^{4} + 3 x^{2} + 2 x$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- x^{4} + 3 x^{2} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 4 x^{3} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- 4 x^{3} + 6 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 \cdot 1$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 4 x^{3} + 6 x + 2$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 4 x^{3} + 6 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 2.3.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $- 12 x^{2} + 6$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $- x^{4} + 3 x^{2} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 4 x^{3} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- 4 x^{3} + 6 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 6 x + 2$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 4 x^{3} + 6 x + 2$ 。

$- 4 x^{3} + 6 x + 2$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 4 x^{3} + 6 x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 4 x^{3} + 6 x + 2$ 中分解出因数 $- 2$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (2 x^{3}) + 6 x + 2 = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从 $6 x$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x) + 2 = 0$

解题步骤 5.2.1.3

从 $2$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x) - 2 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 5.2.1.4

从 $- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (2 x^{3} - 3 x) - 2 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 5.2.1.5

从 $- 2 (2 x^{3} - 3 x) - 2 (- 1)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (2 x^{3} - 3 x - 1) = 0$

解题步骤 5.2.2

因数。

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解题步骤 5.2.2.1

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{3} - 3 x - 1$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 5.2.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5$

解题步骤 5.2.2.1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 5.2.2.1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

$2 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 1$

解题步骤 5.2.2.1.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 - 1$

解题步骤 5.2.2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 - 3 \cdot - 1 - 1$

解题步骤 5.2.2.1.3.4

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 + 3 - 1$

解题步骤 5.2.2.1.3.5

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$1 - 1$

解题步骤 5.2.2.1.3.6

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0$

解题步骤 5.2.2.1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{3} - 3 x - 1}{x + 1}$

解题步骤 5.2.2.1.5

用 $2 x^{3} - 3 x - 1$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$1$

解题步骤 5.2.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$

解题步骤 5.2.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} + 2 x^{2}$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 5.2.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 5.2.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 5.2.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x^{2} - 2 x$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 5.2.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$

解题步骤 5.2.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$

解题步骤 5.2.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$

解题步骤 5.2.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							-	$x$	-	$1$

解题步骤 5.2.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x - 1$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$

解题步骤 5.2.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$
										$0$

解题步骤 5.2.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 x^{2} - 2 x - 1$

解题步骤 5.2.2.1.6

将 $2 x^{3} - 3 x - 1$ 书写为因数的集合。

$- 2 ((x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1)) = 0$

解题步骤 5.2.2.2

去掉多余的括号。

$- 2 (x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 5.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 5.5

将 $2 x^{2} - 2 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $2 x^{2} - 2 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.5.2.2

将 $a = 2$ 、 $b = - 2$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.3

化简。

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解题步骤 5.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.3.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.3.1.3

将 $4$ 和 $8$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.3.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 5.5.2.3.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.4.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.4.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.4.1.3

将 $4$ 和 $8$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.4.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.5.2.4.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 5.5.2.4.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.5.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.5.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.5.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.5.1.3

将 $4$ 和 $8$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.5.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.5.2.5.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 5.5.2.5.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.5.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $- 2 (x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - 1, \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8

计算在 $x = - 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 12 {(- 1)}^{2} + 6$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 12 \cdot 1 + 6$

解题步骤 9.1.2

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$- 12 + 6$

解题步骤 9.2

将 $- 12$ 和 $6$ 相加。

$- 6$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 1$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 1$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = - 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = - {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{4}$ 。

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解题步骤 11.2.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{4}$ 。

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解题步骤 11.2.1.1.1.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

解题步骤 11.2.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 4} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

解题步骤 11.2.1.1.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

解题步骤 11.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- 1) = - 1 + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

解题步骤 11.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = - 1 + 3 \cdot 1 + 2 (- 1)$

解题步骤 11.2.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (- 1) = - 1 + 3 + 2 (- 1)$

解题步骤 11.2.1.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = - 1 + 3 - 2$

解题步骤 11.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$f (- 1) = 2 - 2$

解题步骤 11.2.2.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f (- 1) = 0$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 12

计算在 $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 12 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 6$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

对 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 12 \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} + 6$

解题步骤 13.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 12 \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

解题步骤 13.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.3.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 3) \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

解题步骤 13.1.3.2

约去公因数。

$4 \cdot - 3 \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

解题步骤 13.1.3.3

重写表达式。

$- 3 {(1 + \sqrt{3})}^{2} + 6$

解题步骤 13.1.4

将 ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ 。

$- 3 ((1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})) + 6$

解题步骤 13.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 13.1.5.1

运用分配律。

$- 3 (1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})) + 6$

解题步骤 13.1.5.2

运用分配律。

$- 3 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})) + 6$

解题步骤 13.1.5.3

运用分配律。

$- 3 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

解题步骤 13.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 13.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.6.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

解题步骤 13.1.6.1.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

解题步骤 13.1.6.1.3

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

解题步骤 13.1.6.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) + 6$

解题步骤 13.1.6.1.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}) + 6$

解题步骤 13.1.6.1.6

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) + 6$

解题步骤 13.1.6.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3) + 6$

解题步骤 13.1.6.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$- 3 (4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}) + 6$

解题步骤 13.1.6.3

将 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$- 3 (4 + 2 \sqrt{3}) + 6$

解题步骤 13.1.7

运用分配律。

$- 3 \cdot 4 - 3 (2 \sqrt{3}) + 6$

解题步骤 13.1.8

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$- 12 - 3 (2 \sqrt{3}) + 6$

解题步骤 13.1.9

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$- 12 - 6 \sqrt{3} + 6$

解题步骤 13.2

将 $- 12$ 和 $6$ 相加。

$- 6 - 6 \sqrt{3}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{4} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.3

使用二项式定理。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.4.1

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.2

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \cdot (1 \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.4

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.5

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 15.2.1.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.4.6.4.1

约去公因数。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.6.4.2

重写表达式。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.6.5

计算指数。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.7

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.8

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 {\sqrt{3}}^{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.9

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{3^{3}} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.10

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{27} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.11

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 15.2.1.4.11.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{9 (3)} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.11.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{3^{2} \cdot 3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.12

从根式下提出各项。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (3 \sqrt{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.13

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.14

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.4.14.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.14.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.14.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.14.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.4.14.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.14.4.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.4.14.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.14.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.14.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.14.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{2}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.4.15

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 9}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.5

将 $1$ 和 $18$ 相加。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{19 + 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3} + 9}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.6

将 $19$ 和 $9$ 相加。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{28 + 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.7

将 $4 \sqrt{3}$ 和 $12 \sqrt{3}$ 相加。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{28 + 16 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.8

约去 $28 + 16 \sqrt{3}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.8.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7) + 16 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.8.2

从 $16 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7) + 4 (4 \sqrt{3})}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.8.3

从 $4 (7) + 4 (4 \sqrt{3})$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.8.4

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.8.4.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.8.4.2

约去公因数。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.8.4.3

重写表达式。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.9

对 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.10

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.11

将 ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.12

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 15.2.1.12.1

运用分配律。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.12.2

运用分配律。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.12.3

运用分配律。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.13

化简并合并同类项。

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解题步骤 15.2.1.13.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.13.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.13.1.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.13.1.3

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.13.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.13.1.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.13.1.6

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.13.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.13.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.13.3

将 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.14

约去 $4 + 2 \sqrt{3}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.14.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.14.2

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.14.3

从 $2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.14.4

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.14.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2 (2)}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.14.4.2

约去公因数。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.14.4.3

重写表达式。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 + \sqrt{3}}{2}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.15

组合 $3$ 和 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.16

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.16.1

约去公因数。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.16.2

重写表达式。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 1 + \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.2

要将 $\frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} \cdot \frac{2}{2} + 1 + \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 15.2.3.1

将 $\frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{2 \cdot 2} + 1 + \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- (7 + 4 \sqrt{3}) + 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.5

化简分子。

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解题步骤 15.2.5.1

运用分配律。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 7 - (4 \sqrt{3}) + 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.5.2

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - (4 \sqrt{3}) + 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.5.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.5.4

运用分配律。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + (3 \cdot 2 + 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.5.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + (6 + 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.5.6

运用分配律。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 2 + 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.5.7

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + 12 + 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.5.8

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + 12 + 6 \sqrt{3}}{4} + 1 + \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.5.9

将 $- 7$ 和 $12$ 相加。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 - 4 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{4} + 1 + \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.5.10

将 $- 4 \sqrt{3}$ 和 $6 \sqrt{3}$ 相加。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 + 2 \sqrt{3}}{4} + 1 + \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.6

化简表达式。

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解题步骤 15.2.6.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 + 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{4}{4} + \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.6.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 + 2 \sqrt{3} + 4}{4} + \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.6.3

将 $5$ 和 $4$ 相加。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.7

要将 $\sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 15.2.8

合并分数。

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解题步骤 15.2.8.1

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} \cdot 4}{4}$

解题步骤 15.2.8.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 4}{4}$

解题步骤 15.2.9

化简分子。

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解题步骤 15.2.9.1

将 $4$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3} + 4 \cdot \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 15.2.9.2

将 $2 \sqrt{3}$ 和 $4 \sqrt{3}$ 相加。

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 15.2.10

最终答案为 $\frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4}$ 。

$y = \frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 16

计算在 $x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 12 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 6$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

对 $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 12 \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} + 6$

解题步骤 17.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 12 \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

解题步骤 17.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.3.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 3) \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

解题步骤 17.1.3.2

约去公因数。

$4 \cdot - 3 \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

解题步骤 17.1.3.3

重写表达式。

$- 3 {(1 - \sqrt{3})}^{2} + 6$

解题步骤 17.1.4

将 ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ 。

$- 3 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})) + 6$

解题步骤 17.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 17.1.5.1

运用分配律。

$- 3 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})) + 6$

解题步骤 17.1.5.2

运用分配律。

$- 3 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})) + 6$

解题步骤 17.1.5.3

运用分配律。

$- 3 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6$

解题步骤 17.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 17.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.6.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6$

解题步骤 17.1.6.1.2

将 $- \sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6$

解题步骤 17.1.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6$

解题步骤 17.1.6.1.4

乘以 $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 17.1.6.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

解题步骤 17.1.6.1.4.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

解题步骤 17.1.6.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 6$

解题步骤 17.1.6.1.4.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 6$

解题步骤 17.1.6.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) + 6$

解题步骤 17.1.6.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) + 6$

解题步骤 17.1.6.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 17.1.6.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 6$

解题步骤 17.1.6.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 6$

解题步骤 17.1.6.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 6$

解题步骤 17.1.6.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.6.1.5.4.1

约去公因数。

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 6$

解题步骤 17.1.6.1.5.4.2

重写表达式。

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}) + 6$

解题步骤 17.1.6.1.5.5

计算指数。

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3) + 6$

解题步骤 17.1.6.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$- 3 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}) + 6$

解题步骤 17.1.6.3

从 $- \sqrt{3}$ 中减去 $\sqrt{3}$ 。

$- 3 (4 - 2 \sqrt{3}) + 6$

解题步骤 17.1.7

运用分配律。

$- 3 \cdot 4 - 3 (- 2 \sqrt{3}) + 6$

解题步骤 17.1.8

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$- 12 - 3 (- 2 \sqrt{3}) + 6$

解题步骤 17.1.9

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$- 12 + 6 \sqrt{3} + 6$

解题步骤 17.2

将 $- 12$ 和 $6$ 相加。

$- 6 + 6 \sqrt{3}$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 19

求 $x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{4} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

对 $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.3

使用二项式定理。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.4.1

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.2

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \cdot (1 (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.5

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.6

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.7

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.9

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.10

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 19.2.1.4.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.4.10.4.1

约去公因数。

解题步骤 19.2.1.4.10.4.2

重写表达式。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.10.5

计算指数。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.11

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.12

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.13

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.14

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.15

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{3^{3}}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.16

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{27}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.17

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 19.2.1.4.17.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{9 (3)}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.17.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.18

从根式下提出各项。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- (3 \sqrt{3})) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.19

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- 3 \sqrt{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.20

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.21

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.22

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.23

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.24

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

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解题步骤 19.2.1.4.24.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.24.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.24.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.24.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.4.24.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.24.4.2

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.4.24.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.24.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.24.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.24.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{2}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.4.25

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 9}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.5

将 $1$ 和 $18$ 相加。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{19 - 4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3} + 9}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.6

将 $19$ 和 $9$ 相加。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{28 - 4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.7

从 $- 4 \sqrt{3}$ 中减去 $12 \sqrt{3}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{28 - 16 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.8

约去 $28 - 16 \sqrt{3}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.8.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7) - 16 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.8.2

从 $- 16 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7) + 4 (- 4 \sqrt{3})}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.8.3

从 $4 (7) + 4 (- 4 \sqrt{3})$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.8.4

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.8.4.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.8.4.2

约去公因数。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.8.4.3

重写表达式。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.9

对 $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.10

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.11

将 ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.12

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 19.2.1.12.1

运用分配律。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.12.2

运用分配律。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.12.3

运用分配律。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.13

化简并合并同类项。

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解题步骤 19.2.1.13.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.13.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.13.1.2

将 $- \sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.13.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.13.1.4

乘以 $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 19.2.1.13.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.13.1.4.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.13.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.13.1.4.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.13.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.13.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.13.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 19.2.1.13.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.13.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.13.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.13.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.13.1.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.13.1.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.13.1.5.5

计算指数。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.13.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.13.3

从 $- \sqrt{3}$ 中减去 $\sqrt{3}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.14

约去 $4 - 2 \sqrt{3}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.14.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.14.2

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.14.3

从 $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.14.4

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.14.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.14.4.2

约去公因数。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.14.4.3

重写表达式。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 - \sqrt{3}}{2}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.15

组合 $3$ 和 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.16

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.16.1

约去公因数。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 19.2.1.16.2

重写表达式。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 1 - \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.2

要将 $\frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} \cdot \frac{2}{2} + 1 - \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 19.2.3.1

将 $\frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{2 \cdot 2} + 1 - \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- (7 - 4 \sqrt{3}) + 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.5

化简分子。

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解题步骤 19.2.5.1

运用分配律。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 7 - (- 4 \sqrt{3}) + 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.5.2

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - (- 4 \sqrt{3}) + 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.5.3

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.5.4

运用分配律。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + (3 \cdot 2 + 3 (- \sqrt{3})) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.5.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + (6 + 3 (- \sqrt{3})) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.5.6

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + (6 - 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.5.7

运用分配律。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 2 - 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.5.8

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + 12 - 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.5.9

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + 12 - 6 \sqrt{3}}{4} + 1 - \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.5.10

将 $- 7$ 和 $12$ 相加。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 + 4 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{4} + 1 - \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.5.11

从 $4 \sqrt{3}$ 中减去 $6 \sqrt{3}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 - 2 \sqrt{3}}{4} + 1 - \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.6

化简表达式。

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解题步骤 19.2.6.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 - 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{4}{4} - \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.6.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 - 2 \sqrt{3} + 4}{4} - \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.6.3

将 $5$ 和 $4$ 相加。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.7

要将 $- \sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 19.2.8

合并分数。

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解题步骤 19.2.8.1

组合 $- \sqrt{3}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 4}{4}$

解题步骤 19.2.8.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 4}{4}$

解题步骤 19.2.9

化简分子。

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解题步骤 19.2.9.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 19.2.9.2

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中减去 $4 \sqrt{3}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 6 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 19.2.10

最终答案为 $\frac{9 - 6 \sqrt{3}}{4}$ 。

$y = \frac{9 - 6 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 20

这些是 $f (x) = - x^{4} + 3 x^{2} + 2 x$ 的局部极值。

$(- 1, 0)$ 是一个局部最大值

$(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4})$ 是一个局部最大值

$(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{9 - 6 \sqrt{3}}{4})$ 是一个局部最小值

解题步骤 21

微积分学 示例

微积分学示例