微积分学示例

$f (x) = 6 x^{\frac{7}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}} + 2 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $6 x^{\frac{7}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{\frac{7}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{7}{2}$ 。

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.5

在公分母上合并分子。

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.6.2

从 $7$ 中减去 $2$ 。

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.7

组合 $\frac{7}{2}$ 和 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$6 \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.8

组合 $6$ 和 $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ 。

$\frac{6 (7 x^{\frac{5}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.9

将 $7$ 乘以 $6$ 。

$\frac{42 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.10

从 $42 x^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.11

约去公因数。

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解题步骤 1.2.11.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.11.2

约去公因数。

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.11.3

重写表达式。

$\frac{21 x^{\frac{5}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.11.4

用 $21 x^{\frac{5}{2}}$ 除以 $1$ 。

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{\frac{5}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ 。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{2}$ 。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.5

在公分母上合并分子。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.6

化简分子。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.6.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.7

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.8

组合 $4$ 和 $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 。

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{4 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.9

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{20 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.10

从 $20 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.11

约去公因数。

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解题步骤 1.3.11.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.11.2

约去公因数。

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.11.3

重写表达式。

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.11.4

用 $10 x^{\frac{3}{2}}$ 除以 $1$ 。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $21$ 对于 $x$ 是常数，所以 $21 x^{\frac{5}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ 。

$21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{2}$ 。

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.5

在公分母上合并分子。

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.6

化简分子。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.6.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.7

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$21 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.8

组合 $21$ 和 $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 。

$\frac{21 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.9

将 $5$ 乘以 $21$ 。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.6

化简分子。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.6.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.7

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.8

组合 $10$ 和 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{10 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.9

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{30 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.10

从 $30 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.11

约去公因数。

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解题步骤 2.3.11.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.11.2

约去公因数。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.11.3

重写表达式。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.11.4

用 $15 x^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}} + 0$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.5.2

重新排序项。

$f'' (x) = 15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 。

$15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

微积分学 示例

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