微积分学示例

$\frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$

解题步骤 1

将 $\frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $\frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $\frac{3}{10}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{10} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{3}{10}$ 。

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.4

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.5

组合 $\frac{15}{10}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.6

约去 $15$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.6.1

从 $15 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.6.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{3 x^{4}}{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{3 x^{4}}{2} + 5 (4 x^{3})$

解题步骤 2.1.3.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} + 20 x^{3}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $\frac{3 x^{4}}{2} + 20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x^{4}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.5

组合 $\frac{12}{2}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.6

约去 $12$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.6.1

从 $12 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.6.2.4

用 $6 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$6 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$6 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

解题步骤 2.2.3.3

将 $3$ 乘以 $20$ 。

$f'' (x) = 6 x^{3} + 60 x^{2}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $6 x^{3} + 60 x^{2}$ 。

$6 x^{3} + 60 x^{2}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

解题步骤 3.2

从 $6 x^{3} + 60 x^{2}$ 中分解出因数 $6 x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $6 x^{3}$ 中分解出因数 $6 x^{2}$ 。

$6 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $60 x^{2}$ 中分解出因数 $6 x^{2}$ 。

$6 x^{2} (x) + 6 x^{2} (10) = 0$

解题步骤 3.2.3

从 $6 x^{2} (x) + 6 x^{2} (10)$ 中分解出因数 $6 x^{2}$ 。

$6 x^{2} (x + 10) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x + 10 = 0$

解题步骤 3.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 3.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 3.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 3.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.5

将 $x + 10$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x + 10$ 设为等于 $0$ 。

$x + 10 = 0$

解题步骤 3.5.2

从等式两边同时减去 $10$ 。

$x = - 10$

解题步骤 3.6

最终解为使 $6 x^{2} (x + 10) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 10$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} + 5 {(0)}^{4}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 + 5 {(0)}^{4}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $\frac{3}{10}$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{4}$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 4.3

将 $- 10$ 代入 $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $- 10$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot {(- 10)}^{5} + 5 {(- 10)}^{4}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $- 10$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot - 100000 + 5 {(- 10)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.2

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.2.1

从 $- 100000$ 中分解出因数 $10$ 。

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot (10 (- 10000)) + 5 {(- 10)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.2.2

约去公因数。

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot (10 \cdot - 10000) + 5 {(- 10)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.2.3

重写表达式。

$f (- 10) = 3 \cdot - 10000 + 5 {(- 10)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 $3$ 乘以 $- 10000$ 。

$f (- 10) = - 30000 + 5 {(- 10)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.4

对 $- 10$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 10) = - 30000 + 5 \cdot 10000$

解题步骤 4.3.2.1.5

将 $5$ 乘以 $10000$ 。

$f (- 10) = - 30000 + 50000$

解题步骤 4.3.2.2

将 $- 30000$ 和 $50000$ 相加。

$f (- 10) = 20000$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $20000$ 。

$20000$

解题步骤 4.4

通过将 $- 10$ 代入 $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ 中求得的点为 $(- 10, 20000)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 10, 20000)$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (- 10, 20000)$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 10)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 10.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 10.1) = 6 {(- 10.1)}^{3} + 60 {(- 10.1)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 10.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 10.1) = 6 \cdot - 1030.301 + 60 {(- 10.1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $6$ 乘以 $- 1030.301$ 。

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 60 {(- 10.1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

对 $- 10.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 60 \cdot 102.01$

解题步骤 6.2.1.4

将 $60$ 乘以 $102.01$ 。

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 6120.6$

解题步骤 6.2.2

将 $- 6181.806$ 和 $6120.6$ 相加。

$f'' (- 10.1) = - 61.206$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 61.206$ 。

$- 61.206$

解题步骤 6.3

在 $- 10.1$ ，二阶导数为 $- 61.206$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - 10)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 10)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- 10, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 5$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 5) = 6 {(- 5)}^{3} + 60 {(- 5)}^{2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 5) = 6 \cdot - 125 + 60 {(- 5)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $6$ 乘以 $- 125$ 。

$f'' (- 5) = - 750 + 60 {(- 5)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 5) = - 750 + 60 \cdot 25$

解题步骤 7.2.1.4

将 $60$ 乘以 $25$ 。

$f'' (- 5) = - 750 + 1500$

解题步骤 7.2.2

将 $- 750$ 和 $1500$ 相加。

$f'' (- 5) = 750$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $750$ 。

$750$

解题步骤 7.3

在 $- 5$ 处，二阶导数为 $750$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- 10, 0)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 10, 0)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{3} + 60 {(0.1)}^{2}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $0.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.001 + 60 {(0.1)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $6$ 乘以 $0.001$ 。

$f'' (0.1) = 0.006 + 60 {(0.1)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.3

对 $0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.1) = 0.006 + 60 \cdot 0.01$

解题步骤 8.2.1.4

将 $60$ 乘以 $0.01$ 。

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.6$

解题步骤 8.2.2

将 $0.006$ 和 $0.6$ 相加。

$f'' (0.1) = 0.606$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $0.606$ 。

$0.606$

解题步骤 8.3

在 $0.1$ 处，二阶导数为 $0.606$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(- 10, 20000)$ 。

$(- 10, 20000)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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