微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{- 3} + 3 x^{- 2} + 1}{x^{- 2} + x^{- 1} + 3}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{- 3} + 3 x^{- 2} + 1}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + x^{- 1} + 3}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{- 3} + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + x^{- 1} + 3}$

解题步骤 3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + x^{- 1} + 3}$

解题步骤 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0 + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + x^{- 1} + 3}$

解题步骤 5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0 + 3 lim_{x \to \infty} x^{- 2} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + x^{- 1} + 3}$

解题步骤 6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + x^{- 1} + 3}$

解题步骤 7

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + x^{- 1} + 3}$

解题步骤 8

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 1}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + x^{- 1} + 3}$

解题步骤 8.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 1}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + lim_{x \to \infty} x^{- 1} + lim_{x \to \infty} 3}$

解题步骤 9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} x^{- 1} + lim_{x \to \infty} 3}$

解题步骤 10

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 1}{0 + lim_{x \to \infty} x^{- 1} + lim_{x \to \infty} 3}$

解题步骤 11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 1}{0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 3}$

解题步骤 12

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 1}{0 + 0 + lim_{x \to \infty} 3}$

解题步骤 13

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 1}{0 + 0 + 3}$

解题步骤 13.2

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.2.1.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0 + 1}{0 + 0 + 3}$

解题步骤 13.2.1.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0 + 1}{0 + 0 + 3}$

解题步骤 13.2.1.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{0 + 0 + 3}$

解题步骤 13.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{0 + 3}$

解题步骤 13.2.2.2

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{3}$

小数形式：

$0.\overline{3}$

微积分学 示例

微积分学示例